On remarque que la discontinuité du champ :
est égale àa vec s égal à la
densité surfacique de charge.
Analogie gravitationnelle :
champ de pesanteur
dans une cavité sphérique
1 • Le principe de la solution est le suivant :
Par analyse des symétries E
➞ = E(r) e
➞
r .
Soit S la sphère de rayon r , avec r < R .
S contient la charge Q(r) = r × volume
On applique le théorème de Gauss à S :
D’où le résultat :p our r < R .
2 • Le champ électrostatique et le champ gravitationnel sont
formellement analogues. Le champ de gravitation en un point
intérieur est
avec :
OM
— ➞ .
G est la constante de gravitation universelle qui correspond
à
dans l’analogie.
3 • On affecte l’indice 1 au système étudié, l’indice 2 à la
Terre sans cavité et l’indice 3 à une sphère pleine de masse
volumique r occupant l’espace de la cavité. On peut considérer que (2) est la superposition de (1) et (3) :
La superposition des distributions implique l’addition des
champs :
➞
2 (M) =
➞
1 (M) +
➞
3 (M) .
D’après la question 2) :
➞
2 (M) =
OM
— ➞ et
➞
3 (M)
CM
— ➞ .
On obtient donc, en remarquant que OM
— ➞ – CM
— ➞ = OC
— ➞ :
➞
1 (M)
OC
— ➞ .
Le champ de gravitation est donc uniforme dans une cavité
sphérique, quel que soit son rayon.
4
3
–
=π G
ρ
4
3
–
=π G
ρ
4
3
– π G
ρ
O
C
M
O
C
M
O
C
M
=+
(2)
(1)
(3)
–
1
4 0
πε
➞
➞
=
=
() –
( )–
rr eM r
Go uG
4
3
4
3
π
π
ρ
ρ
➞
➞
=() ,
re r
e r
➞
r r
3 e 0
E
➞ =
4
2
0
π rEr
Qr
()
() .
= ε
=
4
3
3
πrr.
11
σ
ε 0
,
Ea
Ea
Q
a
() –( )
–
+
= 4 0
2
π ε
Modélisation d’un noyau
1 • La charge dq comprise entre deux sphères
de rayon r et r+ dr
c’est-à-dire dans le
volume dt = 4πr
2
dr
s’exprime facilement,
la densité y étant uniforme et égale à r(r).
dq = r dt = r × 4πr
2 dr
La charge totale s’obtient donc en sommant toutes les contributions :
Q =
a
0
r(r) 4πr 2 dr =
a
0
r 0 1 – 4πr
2
dr
= r 0 4π – =
.
2 • En tout point extérieur à la sphère E
➞ =
u
➞
r
or
=
=
⇒ E
➞
ext =
r
➞
.
3 • Le champ est radial et ne
dépend que de r : on peut
appliquer le théorème de
Gauss en une sphère de rayon
r pour surface de Gauss.
En un point M de la surface
de Gauss, on a bien
E
➞
.dS
➞ = E .dS et E uniforme
sur toute la surface
alors
E
➞
. dS
➞ = 4πr 2 E(r).
q int est la charge comprise dans la sphère de rayon r
soit, en reprenant le calcul fait en 1., en intégrant de 0 à r :
q int =
5r 3 –
donc E(r) =
=
–
⇒ E
➞
int =
– r
➞
On vérifie la continuité de E
➞ en r = a : E
➞
(r = a) =
e
➞
r .
4 • V ext (r) = – E dr + cte = avec V(∞) = 0.
Ou encore en prenant la référence de potentiel V(∞) = 0
alors V ext (r) = –
∞
r
E dr =
.
2r 0 a 3
15e 0 r
2r 0 a 3
15e 0 r
2r 0 a
15e 0
r 2
5a 2
1
3
r 0
e 0
r 3
5a 2
r
3
r 0
e 0
r 0 4π 5r 3 –
3
a
r
2
5
15 . 4πe 0 r 2
3r 5
a 2
r 0 4π
15
2r 0 a 3
15e 0 r 3
2r 0 a 3
15e 0 r 2
r 0 8πa 3
15 . 4πe 0 r
2
Q
4πe 0 r
2
Q
4πe 0 r 2
r 0 8πa 3
15
a 3
5
a 3
3
r 2
a 2
12
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
434
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
S = 4p r 2
dr =
y
E(r)
A
dS
R
est égale àa vec s égal à la
densité surfacique de charge.
Analogie gravitationnelle :
champ de pesanteur
dans une cavité sphérique
1 • Le principe de la solution est le suivant :
Par analyse des symétries E
➞ = E(r) e
➞
r .
Soit S la sphère de rayon r , avec r < R .
S contient la charge Q(r) = r × volume
On applique le théorème de Gauss à S :
D’où le résultat :p our r < R .
2 • Le champ électrostatique et le champ gravitationnel sont
formellement analogues. Le champ de gravitation en un point
intérieur est
avec :
OM
— ➞ .
G est la constante de gravitation universelle qui correspond
à
dans l’analogie.
3 • On affecte l’indice 1 au système étudié, l’indice 2 à la
Terre sans cavité et l’indice 3 à une sphère pleine de masse
volumique r occupant l’espace de la cavité. On peut considérer que (2) est la superposition de (1) et (3) :
La superposition des distributions implique l’addition des
champs :
➞
2 (M) =
➞
1 (M) +
➞
3 (M) .
D’après la question 2) :
➞
2 (M) =
OM
— ➞ et
➞
3 (M)
CM
— ➞ .
On obtient donc, en remarquant que OM
— ➞ – CM
— ➞ = OC
— ➞ :
➞
1 (M)
OC
— ➞ .
Le champ de gravitation est donc uniforme dans une cavité
sphérique, quel que soit son rayon.
4
3
–
=π G
ρ
4
3
–
=π G
ρ
4
3
– π G
ρ
O
C
M
O
C
M
O
C
M
=+
(2)
(1)
(3)
–
1
4 0
πε
➞
➞
=
=
() –
( )–
rr eM r
Go uG
4
3
4
3
π
π
ρ
ρ
➞
➞
=() ,
re r
e r
➞
r r
3 e 0
E
➞ =
4
2
0
π rEr
Qr
()
() .
= ε
=
4
3
3
πrr.
11
σ
ε 0
,
Ea
Ea
Q
a
() –( )
–
+
= 4 0
2
π ε
Modélisation d’un noyau
1 • La charge dq comprise entre deux sphères
de rayon r et r+ dr
c’est-à-dire dans le
volume dt = 4πr
2
dr
s’exprime facilement,
la densité y étant uniforme et égale à r(r).
dq = r dt = r × 4πr
2 dr
La charge totale s’obtient donc en sommant toutes les contributions :
Q =
a
0
r(r) 4πr 2 dr =
a
0
r 0 1 – 4πr
2
dr
= r 0 4π – =
.
2 • En tout point extérieur à la sphère E
➞ =
u
➞
r
or
=
=
⇒ E
➞
ext =
r
➞
.
3 • Le champ est radial et ne
dépend que de r : on peut
appliquer le théorème de
Gauss en une sphère de rayon
r pour surface de Gauss.
En un point M de la surface
de Gauss, on a bien
E
➞
.dS
➞ = E .dS et E uniforme
sur toute la surface
alors
E
➞
. dS
➞ = 4πr 2 E(r).
q int est la charge comprise dans la sphère de rayon r
soit, en reprenant le calcul fait en 1., en intégrant de 0 à r :
q int =
5r 3 –
donc E(r) =
=
–
⇒ E
➞
int =
– r
➞
On vérifie la continuité de E
➞ en r = a : E
➞
(r = a) =
e
➞
r .
4 • V ext (r) = – E dr + cte = avec V(∞) = 0.
Ou encore en prenant la référence de potentiel V(∞) = 0
alors V ext (r) = –
∞
r
E dr =
.
2r 0 a 3
15e 0 r
2r 0 a 3
15e 0 r
2r 0 a
15e 0
r 2
5a 2
1
3
r 0
e 0
r 3
5a 2
r
3
r 0
e 0
r 0 4π 5r 3 –
3
a
r
2
5
15 . 4πe 0 r 2
3r 5
a 2
r 0 4π
15
2r 0 a 3
15e 0 r 3
2r 0 a 3
15e 0 r 2
r 0 8πa 3
15 . 4πe 0 r
2
Q
4πe 0 r
2
Q
4πe 0 r 2
r 0 8πa 3
15
a 3
5
a 3
3
r 2
a 2
12
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
434
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
S = 4p r 2
dr =
y
E(r)
A
dS
R