pour –
2
e
z
E(z) =
e/2
– e/2
–
= –
= –
Champ créé par une sphère
chargée en volume
1 • Le système de coordonnées adapté est un système de
coordonnées sphériques (r , q , j) .
Tout plan contenant le centre O est plan de symétrie ; en M
le plan de la feuille e
➞
θ (M, e
➞
r , e
➞
θ ) est plan de symétrie ; ainsi
que le plan (M, e
➞
r , e
➞
j ); E
➞ est donc radial : E
➞
(M) = E e
➞
r .
Le système est invariant par rotation autour de tout axe passant par O . E est donc indépendant de q et de j .
Le champ électrique est donc de la forme E
➞ = E(r) e
➞
r .
2 •
E(r) est uniforme sur la sphère S de rayon r passant par le
point M .
La normale à S , orientée vers l’extérieur de S , se confond
avec e
➞
r .
L’aire de S est égale à 4 π r
2 .
Le flux de E
➞ à travers S s’exprime donc très simplement en
fonction de E(r) :
F = 4 π r
2 E(r) .
L’autre expression du flux F , obtenue par le théorème de
Gauss, est différente selon que le point M est à l’intérieur
ou à l’extérieur de la sphère chargée :
• si r < a (point à l’intérieur), la charge contenue à l’intérieur
de S est Q(r) :
;
Φ =
=
Qr
E
Qr
r
e r
() ,
()
ε
ε
0
0
2
4
d' où
➞
➞
π
E
r
O
y e r
M
y
e q
y e j
10
s
2e 0
re
2e 0
r dz
2e 0
• si r > a (point extérieur, comme sur le schéma), la charge
contenue à l’intérieur de S est la charge totale Q :
À l’extérieur d’une distribution à symétrie sphérique, le
champ électrique est équivalent au champ créé par une charge ponctuelle située au centre de la distribution.
3 • Si la densité volumique de charge est uniforme, Q(r) est
proportionnelle au volume de la sphère de rayon r , soit :
pour r < a .
On obtient donc
pour r < a et une expression inchangée
pour r > a .
Le potentiel s’obtient par intégration du champ :
E
➞ = – grad
— ➞ V , donc
Si r a avec V → 0 pour r →∞, la constante d’intégration
est nulle et
; r a et
.
Le champ restant fini (et continu), V(r) est continue en a ,
d’où
Champ et potentiel créés par une sphère
uniformément chargée en volume
4 • Le potentiel et le champ ont même expression à l’extérieur (r > a) . En revanche, Q(r) est toujours nul à l’intérieur ; d’où :
•
s i r > a ;
• E(r) = 0 et
(uniforme) si r < a .
Le champ est discontinu mais fini. Le potentiel reste donc
continu.
V
Q
a
= 4 0
πε
Er
Q
r
V
Q
r
()=
=
4
4
0
2
0
π
π
ε
ε
et
r
E(r)
a
V(r)
3
2
Q
4pe 0 a
Q
4pe 0 a
Q
4pe 0 a 2
C
Q
a
=
3
8 0
πε
.
V
Qr
a
C
=+
8
2
0
3
π ε
–
V
Q
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= 4 0
π ε
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V
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=
d
d
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r
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➞
➞
= 4 0
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a
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➞
➞
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πε
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r
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3
3
Φ=
=
Q
E
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r
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ε
ε
0
0
2
4
,
.
d' où
➞
➞
π
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
433
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2
e
z
E(z) =
e/2
– e/2
–
= –
= –
Champ créé par une sphère
chargée en volume
1 • Le système de coordonnées adapté est un système de
coordonnées sphériques (r , q , j) .
Tout plan contenant le centre O est plan de symétrie ; en M
le plan de la feuille e
➞
θ (M, e
➞
r , e
➞
θ ) est plan de symétrie ; ainsi
que le plan (M, e
➞
r , e
➞
j ); E
➞ est donc radial : E
➞
(M) = E e
➞
r .
Le système est invariant par rotation autour de tout axe passant par O . E est donc indépendant de q et de j .
Le champ électrique est donc de la forme E
➞ = E(r) e
➞
r .
2 •
E(r) est uniforme sur la sphère S de rayon r passant par le
point M .
La normale à S , orientée vers l’extérieur de S , se confond
avec e
➞
r .
L’aire de S est égale à 4 π r
2 .
Le flux de E
➞ à travers S s’exprime donc très simplement en
fonction de E(r) :
F = 4 π r
2 E(r) .
L’autre expression du flux F , obtenue par le théorème de
Gauss, est différente selon que le point M est à l’intérieur
ou à l’extérieur de la sphère chargée :
• si r < a (point à l’intérieur), la charge contenue à l’intérieur
de S est Q(r) :
;
Φ =
=
Qr
E
Qr
r
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ε
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2
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π
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M
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10
s
2e 0
re
2e 0
r dz
2e 0
• si r > a (point extérieur, comme sur le schéma), la charge
contenue à l’intérieur de S est la charge totale Q :
À l’extérieur d’une distribution à symétrie sphérique, le
champ électrique est équivalent au champ créé par une charge ponctuelle située au centre de la distribution.
3 • Si la densité volumique de charge est uniforme, Q(r) est
proportionnelle au volume de la sphère de rayon r , soit :
pour r < a .
On obtient donc
pour r < a et une expression inchangée
pour r > a .
Le potentiel s’obtient par intégration du champ :
E
➞ = – grad
— ➞ V , donc
Si r a avec V → 0 pour r →∞, la constante d’intégration
est nulle et
; r a et
.
Le champ restant fini (et continu), V(r) est continue en a ,
d’où
Champ et potentiel créés par une sphère
uniformément chargée en volume
4 • Le potentiel et le champ ont même expression à l’extérieur (r > a) . En revanche, Q(r) est toujours nul à l’intérieur ; d’où :
•
s i r > a ;
• E(r) = 0 et
(uniforme) si r < a .
Le champ est discontinu mais fini. Le potentiel reste donc
continu.
V
Q
a
= 4 0
πε
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Q
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V
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4
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0
2
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ε
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CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
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La photocopie non autorisée est un délit.