• Cas z >
:
le cylindre découpe dans la zone chargée une « rondelle »
d’aire S et d’épaisseur e . La charge interne à S est donc
Q = r S e . La deuxième expression du flux est donc :
En égalant les deux expressions de F , on obtient :
et
– .
• Cas 0 < z <:
le cylindre est entièrement plongé dans la zone chargée. Il
découpe dans celle-ci une « rondelle » d’aire S et d’épaisseur 2z (si z > 0) .
La charge interne à S est donc Q = 2 r S z .
La deuxième expression du flux est donc :
(pour z > 0) .
En égalant les deux expressions de F , on obtient :
Les valeurs de E(z) pour z < 0 se déduisent de :
E(– z) = – E(z) .
Conclusion :
si z <
si
< z <
si z >
.
4 • Le potentiel s’obtient par intégration de E(z) :
E
➞ = – grad
— ➞ V , donc
V(z) est une primitive de – E(z) . On obtient :
•
s i z <
•
s i
< z <
•
s i z >
La fonction V(z) étant continue :
C 1 = C 2 +
et C 3 = C 1 .
On peut faire le choix de C 2 = 0 pour «simplifier ».
e
2
0
8
ρ
ε
e
2
.
V
e zC
=+ –
ρ
ε
2 0
3
e
2
;
–
e
2
V
z C
=+ –
ρ
ε
2
0
2
2
–;
e
2
V
e zC
=+
ρ
ε
2 0
1
Ez
V
z
() –;
=
d
d
e
2
E
e e z
➞
➞
=
r
e
2 0
e
2
;
–
e
2
E
z e z
➞
➞
=
r
e 0
–;
e
2
E
e e z
➞
➞
= –
r
e
2 0
E
z e z
➞
➞
=
r
e 0
.
Φ =
2
0
ρ
ε
Sz
e
2
e
2
E
e ez z
➞
➞
=<
r
e
2 0
si
–
e
2
E
e ez z
➞
➞
=>
r
e
2 0
si
Φ =
ρ
ε
Se
0
.
e
2
5 • Par définition :
U ne rondelle d’aire S a
un volume V = S e , et renferme une charge Q = r S e . On
en déduit s = r e . Le champ s’exprime alors par :
•
si z <
•
si
< z <
•
si z >
6 • Le champ à l’extérieur qui ne dépend que de s reste
inchangé lorsque e tend vers zéro. À la limite (e = 0) le
champ subit, à la traversée du plan z = 0 , une discontinuité
d’amplitude
.
7 •
Le plan de cote z 1 crée un champ
en z z 1 , un champ
–
en z z 1 donc
pour z
2
e
E(z) =
e/2
– e/2
+
=
=
pour –
2
e
z
2
e
E(z) =
z
– e/2
+
e/2
z
–
=
=
sz
ee 0
rz
e 0
r dz
2e 0
r dz
2e 0
s
2e 0
re
2e 0
r dz
2e 0
r dz
2e 0
r dz
2e 0
rdz
M(z)
e/2
– e/2
z
z 1
E(z)
2 0
–
e
2
e
2
–
z
2 0
σ
ε
σ
ε
s
e 0
e
2
.
Ee z
➞
➞
=
s
e
2 0
e
2
;
–
e
2
E
z
e
e z
➞
➞
=
s
e 0
–;
e
2
Ee z
➞
➞
= –
s
e
2 0
σ =
charge
surface
.
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
432
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
(le champ est bien dirigé
selon – e
➞
z pour
0 z –
2
e
puisque z y est négatif)
:
le cylindre découpe dans la zone chargée une « rondelle »
d’aire S et d’épaisseur e . La charge interne à S est donc
Q = r S e . La deuxième expression du flux est donc :
En égalant les deux expressions de F , on obtient :
et
– .
• Cas 0 < z <:
le cylindre est entièrement plongé dans la zone chargée. Il
découpe dans celle-ci une « rondelle » d’aire S et d’épaisseur 2z (si z > 0) .
La charge interne à S est donc Q = 2 r S z .
La deuxième expression du flux est donc :
(pour z > 0) .
En égalant les deux expressions de F , on obtient :
Les valeurs de E(z) pour z < 0 se déduisent de :
E(– z) = – E(z) .
Conclusion :
si z <
si
< z <
si z >
.
4 • Le potentiel s’obtient par intégration de E(z) :
E
➞ = – grad
— ➞ V , donc
V(z) est une primitive de – E(z) . On obtient :
•
s i z <
•
s i
< z <
•
s i z >
La fonction V(z) étant continue :
C 1 = C 2 +
et C 3 = C 1 .
On peut faire le choix de C 2 = 0 pour «simplifier ».
e
2
0
8
ρ
ε
e
2
.
V
e zC
=+ –
ρ
ε
2 0
3
e
2
;
–
e
2
V
z C
=+ –
ρ
ε
2
0
2
2
–;
e
2
V
e zC
=+
ρ
ε
2 0
1
Ez
V
z
() –;
=
d
d
e
2
E
e e z
➞
➞
=
r
e
2 0
e
2
;
–
e
2
E
z e z
➞
➞
=
r
e 0
–;
e
2
E
e e z
➞
➞
= –
r
e
2 0
E
z e z
➞
➞
=
r
e 0
.
Φ =
2
0
ρ
ε
Sz
e
2
e
2
E
e ez z
➞
➞
=<
r
e
2 0
si
–
e
2
E
e ez z
➞
➞
=>
r
e
2 0
si
Φ =
ρ
ε
Se
0
.
e
2
5 • Par définition :
U ne rondelle d’aire S a
un volume V = S e , et renferme une charge Q = r S e . On
en déduit s = r e . Le champ s’exprime alors par :
•
si z <
•
si
< z <
•
si z >
6 • Le champ à l’extérieur qui ne dépend que de s reste
inchangé lorsque e tend vers zéro. À la limite (e = 0) le
champ subit, à la traversée du plan z = 0 , une discontinuité
d’amplitude
.
7 •
Le plan de cote z 1 crée un champ
en z z 1 , un champ
–
en z z 1 donc
pour z
2
e
E(z) =
e/2
– e/2
+
=
=
pour –
2
e
z
2
e
E(z) =
z
– e/2
+
e/2
z
–
=
=
sz
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rz
e 0
r dz
2e 0
r dz
2e 0
s
2e 0
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2e 0
r dz
2e 0
r dz
2e 0
r dz
2e 0
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M(z)
e/2
– e/2
z
z 1
E(z)
2 0
–
e
2
e
2
–
z
2 0
σ
ε
σ
ε
s
e 0
e
2
.
Ee z
➞
➞
=
s
e
2 0
e
2
;
–
e
2
E
z
e
e z
➞
➞
=
s
e 0
–;
e
2
Ee z
➞
➞
= –
s
e
2 0
σ =
charge
surface
.
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
432
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
(le champ est bien dirigé
selon – e
➞
z pour
0 z –
2
e
puisque z y est négatif)