• si r > a (point extérieur, comme sur la figure), la charge
contenue à l’intérieur de S est Q = r π a
2 h .
;
d’où
pour r > a .
5 • Par définition :
Une longueur h de fil occupe un volume V = π a 2 h et contient
une charge Q = r π a 2 h , et donc l = r π a 2 .
D’où :
si r < a
et :
s i r > a .
Lorsque a tend vers zéro à l constant, le champ à l’extérieur garde la même expression. Le champ au niveau de la
surface tend vers l’infini.
Remarques
• Le cas limite du fil infiniment fin (filiforme) correspond à
une densité volumique infinie et à un champ infini au niveau
du fil.
• Pour ce cas limite, on peut calculer directement le champ en
écrivant que la charge contenue à l’intérieur de S est égale
à l h .
4 • Connaissant E(r) , on peut déterminer V(r) par intégration :
E
➞ = – grad
— ➞
V est donc une primitive de – E(r) :
et
si r > a ,
en prenant un potentiel nul pour r = r 0 .
V étant continue,
–
Remarque : L’expression de Vm ontre bien qu’il est impossible de choisir la constante d’intégration par la condition
V=0 pour r infini, car il y a des charges à l’infini.
On peut choisir r 0 = a pour «simplifier » l’expression de V.
5 • • Les symétries sont identiques, ainsi que l’expression du
flux en fonction de E(r).
• Si r < a (point à l’intérieur), la charge contenue à l’intérieur de S est nulle :
F = 0 = 2 π r h E(r) ; d’où E
➞ = 0
➞ .
• Si r > a (point extérieur), la charge contenue à l’intérieur
de S est Q = s 2 π ah.
+


 .
1
2
C
a
r
=



–
l
e
2 00
π
ln
=– 2 0
V
r
r
λ
ε
π
ln
0
V
r
a
Cr a
=+
<
λ
ε
2
2
0
4 π
si
V
V
r
e r
= –.
d
d
➞
E
r
e r
➞
➞
=
l
e
2 0
π
E
r
a
e r
➞
➞
=
l
e
2
2
0
π
λ =
charge
longueur
.
=
r
e
E
a
r
e r
2
0
2
➞
➞
F ==
r
e
π
π
ah
rhE r
2
0
2( )
Une longueur h de fil contient une charge Q = s 2 π ah , donc :
On retrouve donc
si r > a.
Le potentiel garde la même expression à l’extérieur, et il est
uniforme (champ nul) à l’intérieur :
et
Là encore on peut choisir r 0 = a si l’on veut.
Charges uniformément réparties
entre deux plans parallèles
1 • Tout plan parallèle à l’axe Oz et passant par M est plan
de symétrie pour les charges. E
➞ est donc parallèle à e
➞
z .
Le système est invariant par toute translation parallèle à e
➞
x
ou à e
➞
y . On en conclut que E
➞ = E(z) e
➞
z .
2 • Le plan z = 0 est plan de symétrie. Si M et M′ sont
deux points de cotes z et – z , E
➞ (M′) est symétrique de E
➞
(M) , soit E(– z) = – E(z) . E(z) est donc une fonction impaire et on limite les calculs au cas z > 0 .
3 • E
➞ est uniforme sur toute surface orthogonale à e
➞
z . On
choisit donc comme surface de Gauss S un cylindre de base
orthogonale à e
➞
z , passant par le point M de cote z et le
point M ′ de cote – z . Le flux de E
➞ à travers la partie de S
qui est parallèle à e
➞
z est nul, et les flux de E
➞ à travers les
deux bases sont égaux à SE(z) .
• Première expression du flux :
F = 2 E(z) S (pour z > 0) .
Ee z
– Ee z
z
M
M
– z
S
9
V
a
r
ra
=−
<
λ
ε
2 00
π
ln si
.
V
r
r
ra
=−
>
λ
ε
2 00
π
ln si
E
r
e r
➞
➞
=
l
e
2 0
π
λσ ==
charge
longueur
2 π a .
F ==
=
s
e
s
e
2
2
0
0
π
π
ah
rhE rE
a
r
e r
();
.
d’où
➞
➞
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
431
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.