S est donc nul. D’après le théorème de Gauss, la charge totale enfermée dans S est nulle. On en déduit :
q 2 + q 3 + q 4 = 0 ou encore 2 q 2 = – q 3 .
Remarques
Si la relation était 2 q 2 > – q 3 , alors des lignes de champ
issues de q 2 (et de q 4 ) partiraient vers l’infini.
Dans le cas 2, q 2 < – q 3 , alors des lignes de champ issues de
q 3 viendraient de l’infini ou des deux autres charges.
b) créé par une distribution filiforme
1 • Le plan du schéma est plan de symétrie, ainsi que le plan
qui contient les trois fils. Le système est également invariant
par translation parallèlement à la direction des fils.
2 • D’après le sens des lignes de champ, ou en considérant
que le flux de E
➞ à travers un cylindre qui entoure le fil de
gauche est positif. On en conclut, d’après le théorème de
Gauss, que ce fil est chargé positivement.
De même, on voit que le fil du milieu est chargé négativement, et le fil de droite positivement.
3 • On considère un parallélépipède dont la base est constituée par le plan du schéma, et de hauteur (parallèle aux fils)
égale à h . Le flux de E
➞ à travers les deux bases est nul (E
➞
est parallèle au schéma) et, d’après l’orientation des lignes de
champ aux points considérés, le flux de E
➞ à travers les quatre autres faces est positif. D’après le théorème de Gauss, on
peut en conclure que la somme des charges situées à l’intérieur
du parallélépipède est positive. La charge totale des fils est
positive (les lignes de champ divergent loin des fils).
4 • Les deux lignes de champ qui encadrent A (et B) ainsi que
celles obtenues par translation de h vers «l e haut » qui encadrent A (et B) permettent de définir un tube de champ avec
deux sections rectangulaires d’aires S A = he A et S B = he B .
Dans cette zone il n’y a aucune charge (les charges sont localisées sur les fils), donc le flux de E
➞ à travers ces deux sections a la même valeur. Si les largeurs e A et e B sont prises
orthogonales au champ, et si on suppose que le champ est
quasi uniforme sur chaque section :
E(A) he A ≈ E(B) he B .
On mesure sur le schéma : e A ≈ 6 mm et e B ≈ 11 mm . Donc
E(B) ≈ 55 V . m –1 .
h
B
A
e B
e A
5 • Les tubes de champ deviennent très larges au voisinage
du point C ; le champ y est donc très faible, en comparaison
du champ dans les autres zones.
Remarque :Il existe, près du point C, un point de champ nul :
la somme vectorielle des champs créés par les trois fils est
nulle.
Champ créé par un fil infiniment
long uniformément chargé
1 • Le système de coordonnées adapté est un système de
coordonnées cylindriques (r , q , z) dont l’axe (Oz) se
confond avec l’axe du fil.
Tout plan contenant l’axe
(Oz) est plan de symétrie ; E
➞
est donc contenu dans le plan
(e
➞
r , e
➞
z ) .
Le fil étant infini, tout plan
normal à (Oz) est également
plan de symétrie : E
➞ est donc
contenu dans le plan (e
➞
r , e
➞
q ).
E
➞ est donc orienté comme e
➞
r :
E
➞ (M) = E(r, q , z) e
➞
r .
Le système est invariant par
rotation autour de l’axe (Oz) .
E est donc indépendant de q .
Le système est invariant par
translation parallèle à l’axe
(Oz).E est donc indépendant
de z .
En conclusion, E
➞ (M) = E(r) e
➞
r .
2 • La norme de E est invariante sur une surface cylindrique
S 1 , de rayon r et de hauteur h quelconque, passant par le
point M . En lui ajoutant les bases S 2 et S 3 , on fabrique une
surface fermée S . Le flux de E
➞ à travers S s’exprime très
simplement en fonction de E(r) .
• Le flux de E
➞ à travers les bases S 2 et S 3 est nul, car E
➞
est parallèle à ces surfaces. Le calcul du flux de E
➞ à travers
S se limite donc à la surface S 1 .
• La normale à S 1 , orientée vers l’extérieur de S , se confond
avec e
➞
r . E a la même valeur E(r) en tout point de la surface S 1 dont l’aire est égale à 2 π r h. On peut donc écrire :
F = 2 π r h E(r) .
L’autre expression du flux F , obtenue par le théorème de
Gauss, est différente selon que le point M est à l’intérieur ou
à l’extérieur du cylindre chargé :
• si r < a (point à l’intérieur), la charge contenue à l’intérieur
de S est Q = r π r
2 h :
d’où
;
E
r er a
r
➞
➞
=<
r
e
2 0
pour
Φ ==
ρ
ε
π
π
rh
rhE r
2
0
2( );
8
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
430
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
h
r
M
S 3
2
e r
1
q 2 + q 3 + q 4 = 0 ou encore 2 q 2 = – q 3 .
Remarques
Si la relation était 2 q 2 > – q 3 , alors des lignes de champ
issues de q 2 (et de q 4 ) partiraient vers l’infini.
Dans le cas 2, q 2 < – q 3 , alors des lignes de champ issues de
q 3 viendraient de l’infini ou des deux autres charges.
b) créé par une distribution filiforme
1 • Le plan du schéma est plan de symétrie, ainsi que le plan
qui contient les trois fils. Le système est également invariant
par translation parallèlement à la direction des fils.
2 • D’après le sens des lignes de champ, ou en considérant
que le flux de E
➞ à travers un cylindre qui entoure le fil de
gauche est positif. On en conclut, d’après le théorème de
Gauss, que ce fil est chargé positivement.
De même, on voit que le fil du milieu est chargé négativement, et le fil de droite positivement.
3 • On considère un parallélépipède dont la base est constituée par le plan du schéma, et de hauteur (parallèle aux fils)
égale à h . Le flux de E
➞ à travers les deux bases est nul (E
➞
est parallèle au schéma) et, d’après l’orientation des lignes de
champ aux points considérés, le flux de E
➞ à travers les quatre autres faces est positif. D’après le théorème de Gauss, on
peut en conclure que la somme des charges situées à l’intérieur
du parallélépipède est positive. La charge totale des fils est
positive (les lignes de champ divergent loin des fils).
4 • Les deux lignes de champ qui encadrent A (et B) ainsi que
celles obtenues par translation de h vers «l e haut » qui encadrent A (et B) permettent de définir un tube de champ avec
deux sections rectangulaires d’aires S A = he A et S B = he B .
Dans cette zone il n’y a aucune charge (les charges sont localisées sur les fils), donc le flux de E
➞ à travers ces deux sections a la même valeur. Si les largeurs e A et e B sont prises
orthogonales au champ, et si on suppose que le champ est
quasi uniforme sur chaque section :
E(A) he A ≈ E(B) he B .
On mesure sur le schéma : e A ≈ 6 mm et e B ≈ 11 mm . Donc
E(B) ≈ 55 V . m –1 .
h
B
A
e B
e A
5 • Les tubes de champ deviennent très larges au voisinage
du point C ; le champ y est donc très faible, en comparaison
du champ dans les autres zones.
Remarque :Il existe, près du point C, un point de champ nul :
la somme vectorielle des champs créés par les trois fils est
nulle.
Champ créé par un fil infiniment
long uniformément chargé
1 • Le système de coordonnées adapté est un système de
coordonnées cylindriques (r , q , z) dont l’axe (Oz) se
confond avec l’axe du fil.
Tout plan contenant l’axe
(Oz) est plan de symétrie ; E
➞
est donc contenu dans le plan
(e
➞
r , e
➞
z ) .
Le fil étant infini, tout plan
normal à (Oz) est également
plan de symétrie : E
➞ est donc
contenu dans le plan (e
➞
r , e
➞
q ).
E
➞ est donc orienté comme e
➞
r :
E
➞ (M) = E(r, q , z) e
➞
r .
Le système est invariant par
rotation autour de l’axe (Oz) .
E est donc indépendant de q .
Le système est invariant par
translation parallèle à l’axe
(Oz).E est donc indépendant
de z .
En conclusion, E
➞ (M) = E(r) e
➞
r .
2 • La norme de E est invariante sur une surface cylindrique
S 1 , de rayon r et de hauteur h quelconque, passant par le
point M . En lui ajoutant les bases S 2 et S 3 , on fabrique une
surface fermée S . Le flux de E
➞ à travers S s’exprime très
simplement en fonction de E(r) .
• Le flux de E
➞ à travers les bases S 2 et S 3 est nul, car E
➞
est parallèle à ces surfaces. Le calcul du flux de E
➞ à travers
S se limite donc à la surface S 1 .
• La normale à S 1 , orientée vers l’extérieur de S , se confond
avec e
➞
r . E a la même valeur E(r) en tout point de la surface S 1 dont l’aire est égale à 2 π r h. On peut donc écrire :
F = 2 π r h E(r) .
L’autre expression du flux F , obtenue par le théorème de
Gauss, est différente selon que le point M est à l’intérieur ou
à l’extérieur du cylindre chargé :
• si r < a (point à l’intérieur), la charge contenue à l’intérieur
de S est Q = r π r
2 h :
d’où
;
E
r er a
r
➞
➞
=<
r
e
2 0
pour
Φ ==
ρ
ε
π
π
rh
rhE r
2
0
2( );
8
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
430
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
h
r
M
S 3
2
e r
1