Champ de pesanteur au sommet
d’une montagne
1 • Entre ces deux champs on a les correspondances suivantes :
2 • On considère la tranche d’épaisseur infinitésimale dz et
de cote z et d’aire S(z) . Sa densité surfacique est :
Le champ créé en un point de son axe par un disque de densité surfacique uniforme s est dirigé selon l’axe et a pour
norme (cf. le cours et l’exercice 5) :
Le champ créé en O par la tranche dz est donc :
L’angle a est ici identique pour toutes les tranches. Il suffit
donc d’intégrer dz , et on obtient :
3 • On peut considérer le système comme une superposition
de distributions fictives de masses (cf. schéma ci-dessous).
D’après le résultat précédent et l’analogie entre les champs
électrostatique et de gravitation :
g′ = 2π G r h (1 – cosa) .
Et donc g 1 = g 0 + g′ , d’où :
∆g = 2π G r h (1 – cosa) .
Numériquement, on obtient ∆g = 1,1 . 10 –3 m . s –2 .
EO
h
➞
()
–cos .
=
(
)
r
e
a
2
1
0
dd
d
d
EE eE
z
z
➞
➞
=
(
)
,
– cos .
avec
= 2
r
e
a
0
1
α
O
dz
E =
(
)
σ
ε
α
2
1
0
–cos .
d
d
d
s
r
r
==
=
charge
surface
Sz z
Sz
z
()
()
.
6
Même si la forme de la montagne est irréaliste, on a là encore un
ordre de grandeur correct. Cette variation de g est mesurable.
Analyse d’un champ
électrostatique
a) créé par des charges ponctuelles
1 • Le champ est convergent au voisinage d’une charge négative et divergent au voisinage d’une charge positive. Une
ligne de champ qui ne passe pas par un point de champ nul ne
peut donc pas relier deux charges de même signe. On déduit
ainsi de l’analyse du schéma :
q 1 > 0 , q 2 > 0 , q 3 < 0 , q 4 > 0 et q 5 > 0.
2 • Les charges q 1 et q 2 étant de même signe, il y a nécessairement un point où le champ est nul sur le segment qui les
relie. Il en va de même pour q 4 et q 5 : les points C et D sont
respectivement ces deux points de champ nul : en ces points
se croisent deux lignes de champ ce qui n’est possible que si
le champ y est nul.
C’est ce même raisonnement qui permet de dire qu’en A et
B le champ est aussi nul.
3 • Sur le cercle, les quatre quarts sont orientés : de C vers
A, de D en A, de C vers B, de D vers B. Àl’intérieur du
cercle : de A vers O, de B vers O. Àl’extérieur du cercle :
de A vers A, de B vers B.
4 • Le plan passant par la charge centrale et qui est normal à
l’axe qui porte les charges est plan de symétrie. On en déduit
que q 5 = q 1 et q 4 = q 2 .
5 • On considère la courbe fermée formée par les quatre
lignes de champ qui relient les points de champ nul A , B , C
et D . Cette courbe engendre une surface fermée S par rotation autour de l’axe qui porte les charges. Sur S , le champ
est en tout point soit nul, soit tangent. Le flux de E
➞ à travers
7
O g 1
O g 0
g’
+
=
α
z
O
α
z
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
429
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
électrostatique
gravitation
champ E
➞
champ
➞
(≈ g
➞ pour le champ terrestre)
charge q
masse m
densité volumique
masse volumique r
de charge r
constante K =
constante – G
1
4 π 0
ε
d’une montagne
1 • Entre ces deux champs on a les correspondances suivantes :
2 • On considère la tranche d’épaisseur infinitésimale dz et
de cote z et d’aire S(z) . Sa densité surfacique est :
Le champ créé en un point de son axe par un disque de densité surfacique uniforme s est dirigé selon l’axe et a pour
norme (cf. le cours et l’exercice 5) :
Le champ créé en O par la tranche dz est donc :
L’angle a est ici identique pour toutes les tranches. Il suffit
donc d’intégrer dz , et on obtient :
3 • On peut considérer le système comme une superposition
de distributions fictives de masses (cf. schéma ci-dessous).
D’après le résultat précédent et l’analogie entre les champs
électrostatique et de gravitation :
g′ = 2π G r h (1 – cosa) .
Et donc g 1 = g 0 + g′ , d’où :
∆g = 2π G r h (1 – cosa) .
Numériquement, on obtient ∆g = 1,1 . 10 –3 m . s –2 .
EO
h
➞
()
–cos .
=
(
)
r
e
a
2
1
0
dd
d
d
EE eE
z
z
➞
➞
=
(
)
,
– cos .
avec
= 2
r
e
a
0
1
α
O
dz
E =
(
)
σ
ε
α
2
1
0
–cos .
d
d
d
s
r
r
==
=
charge
surface
Sz z
Sz
z
()
()
.
6
Même si la forme de la montagne est irréaliste, on a là encore un
ordre de grandeur correct. Cette variation de g est mesurable.
Analyse d’un champ
électrostatique
a) créé par des charges ponctuelles
1 • Le champ est convergent au voisinage d’une charge négative et divergent au voisinage d’une charge positive. Une
ligne de champ qui ne passe pas par un point de champ nul ne
peut donc pas relier deux charges de même signe. On déduit
ainsi de l’analyse du schéma :
q 1 > 0 , q 2 > 0 , q 3 < 0 , q 4 > 0 et q 5 > 0.
2 • Les charges q 1 et q 2 étant de même signe, il y a nécessairement un point où le champ est nul sur le segment qui les
relie. Il en va de même pour q 4 et q 5 : les points C et D sont
respectivement ces deux points de champ nul : en ces points
se croisent deux lignes de champ ce qui n’est possible que si
le champ y est nul.
C’est ce même raisonnement qui permet de dire qu’en A et
B le champ est aussi nul.
3 • Sur le cercle, les quatre quarts sont orientés : de C vers
A, de D en A, de C vers B, de D vers B. Àl’intérieur du
cercle : de A vers O, de B vers O. Àl’extérieur du cercle :
de A vers A, de B vers B.
4 • Le plan passant par la charge centrale et qui est normal à
l’axe qui porte les charges est plan de symétrie. On en déduit
que q 5 = q 1 et q 4 = q 2 .
5 • On considère la courbe fermée formée par les quatre
lignes de champ qui relient les points de champ nul A , B , C
et D . Cette courbe engendre une surface fermée S par rotation autour de l’axe qui porte les charges. Sur S , le champ
est en tout point soit nul, soit tangent. Le flux de E
➞ à travers
7
O g 1
O g 0
g’
+
=
α
z
O
α
z
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
429
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
électrostatique
gravitation
champ E
➞
champ
➞
(≈ g
➞ pour le champ terrestre)
charge q
masse m
densité volumique
masse volumique r
de charge r
constante K =
constante – G
1
4 π 0
ε