Ionisation de l’atome
d’hydrogène (exo d’oral)
1 • La distance moyenne entre le noyau et l’électron est de
l’ordre de a ≈ 10 –10 m.
L’électron est soumis au champ du noyau de charge
e = 1,6 . 10 –19 C et au champ créé par une source extérieure
E appliqué .
Au niveau de l’électron, le champ créé par le noyau est de
l’ordre de :
On peut admettre que l’ionisation a lieu si le champ extérieur
est comparable au champ créé par le noyau, soit
E appliqué ≈ 10 11 V . m –1 .
2 • Le champ disruptif de l’air 3,6 . 10 6 V. m –1 est le champ
maximal qui puisse exister dans l’air, sinon l’air est ionisé et
une décharge se produit.
Il faut donc appliquer à l’hydrogène un champ très important.
Interaction entre un anneau
et une charge (oral)
1 • •Analyse des symétries
Tout plan passant par l’axe (Oz) est plan de symétrie pour
les charges. On peut donc écrire, en un point de l’axe,
E
➞ (M)=Ee
➞
z .
Le système étant invariant par rotation autour de (Oz) , les
coordonnées polaires s’imposent pour repérer la position
d’un point P du disque.
On utilisera aussi l’angle j tel que
(z M > 0).
• Calcul de E par intégration
L’élément de disque qui entoure le point P, repéré par ses
coordonnées polaires (r , q) , a
une aire dS et une charge :
dq = s dS .
Cet élément crée en M un
champ :
dE
➞ = dE z e
➞
z + dE r e
➞
r .
Comme le champ total est
parallèle à e
➞
z , on ne calcule
que cette composante :
PM =
;d S= r dj dr ; r = z M tan j ;
par invariance on peut étendre dS à 2πr dr : tous les éléments du disque de rayon r contribuent également à dE z .
z M
cos j
d
d
E
S
PM
z =
1
4 0
2
πε
σϕ cos .
tanϕ =
r
z M
5
E
a
0
2
9
1 92 01 1
1
91 01 61 01 01 0
≈
≈
≈
e
4
Vm
0
π e
...
.
,/
.
–
–
–
4
d’où :d r =
et dS = 2π z M
2
dj
Ce qui donne :
dE z =
et :
E =d E z =
L’intégration est immédiate, et on obtient :
(z M > 0).
Dans le cas du disque évidé il faut sommer de
a 1 = atan
à a 2 = atan
.
On obtient E
➞ =
2
s
e 0
(cos a 1 – cos a 2 )e
➞
z
=
–
e
➞
z
2 • Le système est conservatif : on peut appliquer soit le
théorème de l’énergie cinétique, soit la conservation de
l’énergie mécanique pour arriver rapidement au résultat.
E m (z 0 ) =
mv 2
0 + qV(z 0 )
avec V(z 0 ) potentiel créé par l’anneau en z 0 .
Si v 0 est la vitesse minimale, la particule arrive avec une
vitesse nulle en z = 0.
Son énergie vaut alors
E m (0) = qV(0)
On en déduit que v 0 =
2
(V(0) – V(z 0 ))
Or V(0) – V(z 0 ) =
z 0
0
E
➞ . d
➞ =
z 0
0
E dz = C
Calculons la circulation C de E
➞ de 0 à z 0 .
z 0
0
–
=
z 0
0
d(R 2
1 + z
2
)
+1/2
– d(R
2
2 + z 2 ) +1/2
d’où C =
6R 2 1 + z 2
z 0
0
– 6R
2
2 + z 2
z 0
0
=
(8R
2
1 + z
2
0 – 8R
2
2 + z
2
0 + R 2 – R 1 )
et v 0 =
4
2qC
m
s
2e 0
s
2e 0
s
2e 0
z dz
(R 2
2 + z 2 ) 1/2
z dz
(R 2
1 + z 2 ) 1/2
s
2e 0
2q
m
1
2
1
8R
2
2 + z
2
M
1
8R
2
1 + z
2
M
s z M
2e 0
R 2
z M
R 1
z M
E
e z
➞
➞
=
s
e
a
2
1
0
(–cos )
s sin j dj
2e 0
j = 0
a
disque
s sin j dj
2e 0
sin j
cos 3 j
z M dj
cos 2 j
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
428
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
O
r
P
M
α
ϕ
dE
e z
d’hydrogène (exo d’oral)
1 • La distance moyenne entre le noyau et l’électron est de
l’ordre de a ≈ 10 –10 m.
L’électron est soumis au champ du noyau de charge
e = 1,6 . 10 –19 C et au champ créé par une source extérieure
E appliqué .
Au niveau de l’électron, le champ créé par le noyau est de
l’ordre de :
On peut admettre que l’ionisation a lieu si le champ extérieur
est comparable au champ créé par le noyau, soit
E appliqué ≈ 10 11 V . m –1 .
2 • Le champ disruptif de l’air 3,6 . 10 6 V. m –1 est le champ
maximal qui puisse exister dans l’air, sinon l’air est ionisé et
une décharge se produit.
Il faut donc appliquer à l’hydrogène un champ très important.
Interaction entre un anneau
et une charge (oral)
1 • •Analyse des symétries
Tout plan passant par l’axe (Oz) est plan de symétrie pour
les charges. On peut donc écrire, en un point de l’axe,
E
➞ (M)=Ee
➞
z .
Le système étant invariant par rotation autour de (Oz) , les
coordonnées polaires s’imposent pour repérer la position
d’un point P du disque.
On utilisera aussi l’angle j tel que
(z M > 0).
• Calcul de E par intégration
L’élément de disque qui entoure le point P, repéré par ses
coordonnées polaires (r , q) , a
une aire dS et une charge :
dq = s dS .
Cet élément crée en M un
champ :
dE
➞ = dE z e
➞
z + dE r e
➞
r .
Comme le champ total est
parallèle à e
➞
z , on ne calcule
que cette composante :
PM =
;d S= r dj dr ; r = z M tan j ;
par invariance on peut étendre dS à 2πr dr : tous les éléments du disque de rayon r contribuent également à dE z .
z M
cos j
d
d
E
S
PM
z =
1
4 0
2
πε
σϕ cos .
tanϕ =
r
z M
5
E
a
0
2
9
1 92 01 1
1
91 01 61 01 01 0
≈
≈
≈
e
4
Vm
0
π e
...
.
,/
.
–
–
–
4
d’où :d r =
et dS = 2π z M
2
dj
Ce qui donne :
dE z =
et :
E =d E z =
L’intégration est immédiate, et on obtient :
(z M > 0).
Dans le cas du disque évidé il faut sommer de
a 1 = atan
à a 2 = atan
.
On obtient E
➞ =
2
s
e 0
(cos a 1 – cos a 2 )e
➞
z
=
–
e
➞
z
2 • Le système est conservatif : on peut appliquer soit le
théorème de l’énergie cinétique, soit la conservation de
l’énergie mécanique pour arriver rapidement au résultat.
E m (z 0 ) =
mv 2
0 + qV(z 0 )
avec V(z 0 ) potentiel créé par l’anneau en z 0 .
Si v 0 est la vitesse minimale, la particule arrive avec une
vitesse nulle en z = 0.
Son énergie vaut alors
E m (0) = qV(0)
On en déduit que v 0 =
2
(V(0) – V(z 0 ))
Or V(0) – V(z 0 ) =
z 0
0
E
➞ . d
➞ =
z 0
0
E dz = C
Calculons la circulation C de E
➞ de 0 à z 0 .
z 0
0
–
=
z 0
0
d(R 2
1 + z
2
)
+1/2
– d(R
2
2 + z 2 ) +1/2
d’où C =
6R 2 1 + z 2
z 0
0
– 6R
2
2 + z 2
z 0
0
=
(8R
2
1 + z
2
0 – 8R
2
2 + z
2
0 + R 2 – R 1 )
et v 0 =
4
2qC
m
s
2e 0
s
2e 0
s
2e 0
z dz
(R 2
2 + z 2 ) 1/2
z dz
(R 2
1 + z 2 ) 1/2
s
2e 0
2q
m
1
2
1
8R
2
2 + z
2
M
1
8R
2
1 + z
2
M
s z M
2e 0
R 2
z M
R 1
z M
E
e z
➞
➞
=
s
e
a
2
1
0
(–cos )
s sin j dj
2e 0
j = 0
a
disque
s sin j dj
2e 0
sin j
cos 3 j
z M dj
cos 2 j
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
428
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
O
r
P
M
α
ϕ
dE
e z