3 •
La répartition de charge est invariante par translation suivant
z donc E
➞
(M) = E
➞
(x, y) = E
➞
(r, q ).
Un plan z = cste est un plan de symétrie des charges donc
E
➞ appartient à ce plan :
E
➞
(M) = E x (x, y)u
➞
x + E y (x, y)u
➞
y
= E r (r, θ)u
➞
r + E q (r, θ)u
➞
q
Le champ n’a pas de composantes suivant u
➞
z .
dS = Rdq d z
dq
Rdq
z
x
y
R
q
R
a
z
h = a cosq
dq
dS
x
q
y
O 1
O 2
O
z
x
y
K
H
M
y
u r
y
u z
y
u q
q
O 1
O 2
Pour avoir une répartition surfacique il faut que a << R.
Travaillons en coordonnées cylindriques d’axe Oz : le volume situé entre les deux cylindres, entre 2 plans de cotes z et
z + dz vu sous l’angle dq est :
dt = dS dz avec dS = hR dq et h = a cos q
d’où dt = Ra cos q dz et dq = rRa cos q dz
Sur le cylindre de rayon R la surface élémentaire interceptée
par les mêmes plans est :
dS = R dq dz et dq = sR dq dz
ce qui conduit à s = s 0 cos q avec s 0 = ra.
Détermination du champ à partir
d’une carte d’équipotentielles
Le plan du schéma est un plan de symétrie pour les charges.
Le champ E
➞ est donc contenu dans ce plan. E
➞ est donné par
E
➞ = – grad
— ➞ V .
grad
— ➞ V est défini par dV = grad
— ➞ V . d
➞
, dV étant la variation élémentaire de V liée à un déplacement élémentaire d
➞ .
Il en résulte (cf. cours) que le vecteur E
➞ en M est déterminé par :
• direction : normale aux équipotentielles ;
• sens : dirigé vers les potentiels décroissants ;
• norme :
mesurée le long d’une ligne de champ.
On peut déterminer une valeur approchée, au point M , de
cette dérivée par :
M 1 et M 2 étant deux points de
potentiels connus, appartenant
à la même ligne de champ que
M et encadrant M .
• Point A : On trace la normale aux équipotentielles passant
par A . Cette droite coupe les
deux équipotentielles les plus
proches en A 1 et A 2 .
∆ = A 1 A 2 = 6 mm . ∆V = 97 – 85 = 7 V.
|| E
➞
(A)||=
≈1,2 kV . m –1 .
E
➞
(A) dirigé vers A 2
• Point B : ∆ = 1,5 mm, ∆V = 7 V,
|| E
➞
(B) || ≈ 4,7 kV . m –1 .
• Point C : ∆ = 3 mm, ∆V = 9 V,
|| E
➞
(C) || ≈ 3 kV . m –1 .
La ligne V = 0 volt n’a aucune signification particulière ;
c’est la différence de potentiel entre deux points et non sa
valeur en un point qui a un sens.
De plus, les fils étant supposés infiniment longs, il est impossible de poser V = 0 à l’infini.
V
|| () ||
|( )– () | ,
EM
VV MV M
MM
➞
≈=
∆
∆
12
12
|| ||
,
E
V
➞ =
d
d
3
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
427
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
E
M 1
M 2
M
V(M 2 )
V(M 1 )
La répartition de charge est invariante par translation suivant
z donc E
➞
(M) = E
➞
(x, y) = E
➞
(r, q ).
Un plan z = cste est un plan de symétrie des charges donc
E
➞ appartient à ce plan :
E
➞
(M) = E x (x, y)u
➞
x + E y (x, y)u
➞
y
= E r (r, θ)u
➞
r + E q (r, θ)u
➞
q
Le champ n’a pas de composantes suivant u
➞
z .
dS = Rdq d z
dq
Rdq
z
x
y
R
q
R
a
z
h = a cosq
dq
dS
x
q
y
O 1
O 2
O
z
x
y
K
H
M
y
u r
y
u z
y
u q
q
O 1
O 2
Pour avoir une répartition surfacique il faut que a << R.
Travaillons en coordonnées cylindriques d’axe Oz : le volume situé entre les deux cylindres, entre 2 plans de cotes z et
z + dz vu sous l’angle dq est :
dt = dS dz avec dS = hR dq et h = a cos q
d’où dt = Ra cos q dz et dq = rRa cos q dz
Sur le cylindre de rayon R la surface élémentaire interceptée
par les mêmes plans est :
dS = R dq dz et dq = sR dq dz
ce qui conduit à s = s 0 cos q avec s 0 = ra.
Détermination du champ à partir
d’une carte d’équipotentielles
Le plan du schéma est un plan de symétrie pour les charges.
Le champ E
➞ est donc contenu dans ce plan. E
➞ est donné par
E
➞ = – grad
— ➞ V .
grad
— ➞ V est défini par dV = grad
— ➞ V . d
➞
, dV étant la variation élémentaire de V liée à un déplacement élémentaire d
➞ .
Il en résulte (cf. cours) que le vecteur E
➞ en M est déterminé par :
• direction : normale aux équipotentielles ;
• sens : dirigé vers les potentiels décroissants ;
• norme :
mesurée le long d’une ligne de champ.
On peut déterminer une valeur approchée, au point M , de
cette dérivée par :
M 1 et M 2 étant deux points de
potentiels connus, appartenant
à la même ligne de champ que
M et encadrant M .
• Point A : On trace la normale aux équipotentielles passant
par A . Cette droite coupe les
deux équipotentielles les plus
proches en A 1 et A 2 .
∆ = A 1 A 2 = 6 mm . ∆V = 97 – 85 = 7 V.
|| E
➞
(A)||=
≈1,2 kV . m –1 .
E
➞
(A) dirigé vers A 2
• Point B : ∆ = 1,5 mm, ∆V = 7 V,
|| E
➞
(B) || ≈ 4,7 kV . m –1 .
• Point C : ∆ = 3 mm, ∆V = 9 V,
|| E
➞
(C) || ≈ 3 kV . m –1 .
La ligne V = 0 volt n’a aucune signification particulière ;
c’est la différence de potentiel entre deux points et non sa
valeur en un point qui a un sens.
De plus, les fils étant supposés infiniment longs, il est impossible de poser V = 0 à l’infini.
V
|| () ||
|( )– () | ,
EM
VV MV M
MM
➞
≈=
∆
∆
12
12
|| ||
,
E
V
➞ =
d
d
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CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
427
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
E
M 1
M 2
M
V(M 2 )
V(M 1 )