Tout plan (M, e
➞
x , e
➞
z ) est plan de symétrie ainsi que tout plan
(M, e
➞
y , e
➞
z ), la distribution étant infinie dans les deux directions x et y. On en déduit que le champ E
➞
, appartenant aux
plans de symétrie, est selon e
➞
z en tout point de l’espace,
donc : E
➞
(M) = E(z) e
➞
z .
Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie donc
E
➞
(– z) = opp (symE
➞
(z)), ce qui se traduit par E(– z) = E(z).
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
1 • La répartition de charges est invariante par rotation
autour de l’axe Oz. En travaillant dans le système de coordonnées sphériques M(r, q , j) , on a E
➞
(M) = E
➞
(r, q ).
Travaillons dans le plan j = 0, c’est-à-dire le plan (xOz);soit
un point M dans ce plan. Le plan (M, Ox, Oz) est un plan de
symétrie des charges, donc E
➞
(M) est dans ce plan. Il en est
de même quel que soit le plan j = cte, donc :
E
➞
(M) = E r (r, q )u
➞
r + E θ (r, q )u
➞
θ . Le champ n’a pas de composante sur u
➞
j .
2 • Remarquons que + r – r = 0 : la densité volumique de
charges est nulle dans l’espace commun aux 2 sphères.
Pour avoir une répartition surfacique de charge, il faut être en
présence d’une répartition volumique (« grande ») sur une
épaisseur «f aible »:la translation a des deux sphères doit
donc être petite devant R : a << R.
M
r
H
y
a
j = O
a = O 1 , O 2
j
z
x
q
+ r
– r
O 1
O 2
y u r
y u y
y u q
j
2
y E ( z)
y E (– z)
– r
+ r
(influence des charges 0 prépondérantes car plus proches)
(influence des charges 0 prépondérantes car plus proches)
Déterminons le volume dt situé entre les 2 sphères, vu sous
un angle dq , entre q et q + dq (j variant de 0 à 2π):
dt= dS 2πR sin q
avec dS = hR dq et h = a cos q
soit dt = 2πaR
2 sin q cos q dq
La charge dq située dans cet élément de volume est :
dq = 2πraR
2 sin q cos q dq
Déterminons sur une sphère de rayon R la surface dΣ interceptée (surface hachurée du document) par dq , entre q et
q + dq (j variant de 0 à 2π):
dΣ= R dq 2πR sin q = 2πR
2 sin q dq .
La charge dq située sur cet élément de surface dΣ s’écrit
(avec une densité surfacique de charges s):
dq= s dΣ = 2πsR
2 sin q dq .
L’identification des deux expressions de dq donne :
s = s 0 cos q avec s 0 = ra.
Remarque : s 0 existe et est non nul si r tend vers l’infini
quand a tend vers zéro :
s 0 = lim
a Æ 0
rÆ∞
(ra).
Rsinq
dq
Rdq
j = 2p
z
x
y
O
R
q
R
j = 2p
y
R sin q
h = a cosq
dq
dS
z
q
x
O 1
O 2
O
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
426
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
➞
x , e
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z ) est plan de symétrie ainsi que tout plan
(M, e
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y , e
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z ), la distribution étant infinie dans les deux directions x et y. On en déduit que le champ E
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, appartenant aux
plans de symétrie, est selon e
➞
z en tout point de l’espace,
donc : E
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(M) = E(z) e
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z .
Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie donc
E
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(– z) = opp (symE
➞
(z)), ce qui se traduit par E(– z) = E(z).
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
1 • La répartition de charges est invariante par rotation
autour de l’axe Oz. En travaillant dans le système de coordonnées sphériques M(r, q , j) , on a E
➞
(M) = E
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(r, q ).
Travaillons dans le plan j = 0, c’est-à-dire le plan (xOz);soit
un point M dans ce plan. Le plan (M, Ox, Oz) est un plan de
symétrie des charges, donc E
➞
(M) est dans ce plan. Il en est
de même quel que soit le plan j = cte, donc :
E
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(M) = E r (r, q )u
➞
r + E θ (r, q )u
➞
θ . Le champ n’a pas de composante sur u
➞
j .
2 • Remarquons que + r – r = 0 : la densité volumique de
charges est nulle dans l’espace commun aux 2 sphères.
Pour avoir une répartition surfacique de charge, il faut être en
présence d’une répartition volumique (« grande ») sur une
épaisseur «f aible »:la translation a des deux sphères doit
donc être petite devant R : a << R.
M
r
H
y
a
j = O
a = O 1 , O 2
j
z
x
q
+ r
– r
O 1
O 2
y u r
y u y
y u q
j
2
y E ( z)
y E (– z)
– r
+ r
(influence des charges 0 prépondérantes car plus proches)
(influence des charges 0 prépondérantes car plus proches)
Déterminons le volume dt situé entre les 2 sphères, vu sous
un angle dq , entre q et q + dq (j variant de 0 à 2π):
dt= dS 2πR sin q
avec dS = hR dq et h = a cos q
soit dt = 2πaR
2 sin q cos q dq
La charge dq située dans cet élément de volume est :
dq = 2πraR
2 sin q cos q dq
Déterminons sur une sphère de rayon R la surface dΣ interceptée (surface hachurée du document) par dq , entre q et
q + dq (j variant de 0 à 2π):
dΣ= R dq 2πR sin q = 2πR
2 sin q dq .
La charge dq située sur cet élément de surface dΣ s’écrit
(avec une densité surfacique de charges s):
dq= s dΣ = 2πsR
2 sin q dq .
L’identification des deux expressions de dq donne :
s = s 0 cos q avec s 0 = ra.
Remarque : s 0 existe et est non nul si r tend vers l’infini
quand a tend vers zéro :
s 0 = lim
a Æ 0
rÆ∞
(ra).
Rsinq
dq
Rdq
j = 2p
z
x
y
O
R
q
R
j = 2p
y
R sin q
h = a cosq
dq
dS
z
q
x
O 1
O 2
O
CORRIGÉS
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