Étude des invariances et symétries
1 • a) Plan z = 0
La distribution est invariante par translation selon x ou y donc
le champ ne dépend que de z : E
➞
(M) = E
➞
(z).
Tout point M appartient à deux plans de symétrie (M, e
➞
y , e
➞
z )
et (M, e
➞
z , e
➞
x ) donc le champ appartient en M, à l’intersection
de ces deux plans : il est donc selon e
➞
z . Or M est choisi quelconque donc, en tout point, le champ est selon e
➞
z :
E
➞
(M) = E(z) e
➞
z .
Le plan z = 0 est plan de
symétrie des charges,
donc E(z) = – E(z).
b) Cylindre de rayon R
Il y a invariance par rotation autour de Oz et par translation le
long de Oz donc le champ ne dépend que de r : E
➞
(M) = E
➞
(r).
Tout point M appartient à deux plans de symétrie (M, u
➞
r , u
➞
θ )
et (M, u
➞
z , u
➞
r ) donc le champ, appartenant à leur intersection,
est porté par u
➞
r . M étant quelconque on peut conclure que le
champ est en tout point radial : E
➞
(M) = E(r) e
➞
r .
c) Boule de rayon R
j
y u j
y u r
y u q
M (r, q, j)
q
r
r
M(r i , q i , z i )
et
q
y u
r
r
R
y u q
y u r
y u q
y u r
P +
R
P +
y u z
z
O
M
ou
z i
x i
p + (M, y e y , y e z )
M (x i , y i , z i )
x
z
yz
z i
y i
p + (M, y e z , y e y )
M (x i , y i , z i )
y
z
1
Il y a invariance par rotation d’angle q ou j : le champ ne
dépend que de r, donc E
➞
(M) = E
➞
(r).
Tout point M appartient à deux plans de symétrie
(M, u
➞
r , u
➞
θ ) et (M, u
➞
j , u
➞
r ) donc le champ E
➞ appartient à leur
intersection : il est donc porté par u
➞
r . Le champ est radial :
E
➞
(M) = E(r) u
➞
r .
2 •
Il y a invariance par
rotation d’angle j
autour de l’axe des x,
donc E
➞
(M) = E
➞
(r, q ).
On peut étudier le
problème dans le plan
(xOz), puis déduire le champ par rotation autour de cet axe et
E
➞
(M) = E r (r, q )e
➞
r + E θ (r, q )e
➞
θ .
Le plan x = 0, médiateur des deux charges, est plan d’antisymétrie : en tout point de ce plan q = ± le champ lui
est perpendiculaire, il est donc parallèle à l’axe des x, et
E
➞
(π – q ) = – sym E
➞
(q ).
Les plans y = 0 (et z = 0) sont plans de symétrie puisqu’ils
contiennent la distribution donc le champ appartient à ce
plan : on retrouve l’une des conclusions de l’étude des invariances : E
➞ = E r e
➞
r + E θ e
➞
θ .
3 • La distribution de charge est invariante par translation
suivant x et y donc : E
➞
(M) = E
➞
(z).
y
e z
y
e x
y
e y
– r
+ r
M
y
x
z
+ a
– a
+ q
– q
y
O
x
y
E (r, )
p
2
q
et
M
M¢
π
2
+ q
– q
y
O
M (r, q)
x
z
q
j
y
u j
y
u r
y
u q
M
R
q
z
r
P +
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Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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ou
y
E (z)
y
E (– z)
y
E (z)
E (– z)