©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
5 • Quelle est l’expression de la capacité de ce condensateur, c’est à dire le rapport C = Q / U avec Q = sS pour
la surface S des plaques ?
Énergie d’une liaison ionique
L’énergie potentielle du système (Na
+
,Cl
–
) a pour expression E p (r) =–q
2
/4πε 0 r + λq/4πε 0 r
9
.
1 • À quoi correspond le 2
e
terme ? Quel est le signe de l ?
Montrer qu’il est nécessaire à l’existence de positions
d’équilibre du système.
2 • On donne r =241 pm à l’équilibre. Calculer E d l’énergie de dissociation de la liaison entre ces deux ions.
Exprimer le résultat en eV puis en kJ /mol.
3 • Comment ces résultats peuvent être changés pour le
cristal NaCl ?
15
3 • La particule étant en A, on l’écarte de a. Donner une
estimation de a m , la valeur maximale de a telle que la
particule ait des oscillations sinusoïdales autour de A.
Quelle est alors leur pulsation ?
4 • Application numérique pour l’hydrogène : R =53 pm.
Champ, potentiel et capacité
d’un condensateur plan
(INCONTOURNABLE)
Soient deux plaques de surface S, dans le vide, chargées
uniformément avec des densités + σ et – σ, planes et
parallèles distantes de e, formant un condensateur. On
considère que les plaques se comportent comme des
plaques infinies.
1 • Montrer que le champ électrique est uniforme dans les
trois zones de l’espace: z – e /2, – e /2 z + e /2, et
z + e /2 en tout point de l’espace.
2 • En raisonnant sur l’expression du champ créé par un
plan infini uniformément chargé trouver l’expression du
champ entre les plaques et à l’extérieur.
3 • Pouvait-on arriver au même résultat en appliquant le
théorème de Gauss au champ électrostatique créé par l’ensemble des deux plaques sans hypothèse supplémentaire ?
4 • Donner l’expression de V(z) en prenant V(B) = 0 et
V(A) = U.
z
e
plaque (B)
0
plaque (A)
y
e z
– s
+ s
14
EXERCICES
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
424
Conseils
Bien considérer les cas : x – R et x + R (où le
champ créé par la sphère devient celui d’une charge
ponctuelle), et – R x + R où le champ créé par
la sphère varie linéairement en x. Revoir en détail
l’exercice 10 incontournable.
Pour trouver une position d’équilibre on peut raisonner sur l’extremum de l’énergie potentielle ou, ce qui
revient au même, la nullité de la résultante des forces.
Une position d’équilibre stable correspond à un minimum d’énergie potentielle.
Conseils
1) L’exposant suggère une interaction très forte et de
très courte distance. D’autre part pour qu’existe une
position d’équilibre il faut compenser la force d’attraction qui dérive du 1 er terme par une force de
répulsion, ce qui implique l 0.
2) À l’équilibre (stable) l’énergie potentielle est minimale. Dissocier la liaison revient à éloigner infiniment les deux ions. L’énergie à fournir est donc la
différence d’énergie des états lié et non lié.
Conseils
1) Une étude des symétries et invariances permet de
montrer que E est selon z et ne dépend que de z. À
partir de là on applique le théorème de Gauss à des
surfaces situées en dehors des plaques.
2) Appliquer le théorème de superposition en veillant
à bien orienter les deux champs créés par les deux
plaques. Distinguer les cas z e /2 et z e /2.
3) Bien se demander si les flux sortant des bases
«horizontales » de la surface de Gauss s’ajoutent ou
se retranchent, sont égaux ou pas. Remarquer que le
plan z =0 est un plan d’antisymétrie de la distribution donc E(z) =–E(– z) ici.
4) Chercher la primitive du champ pour trouver V(z).
Ne pas oublier les constantes d’intégration. Ou bien
exploiter la circulation entre A ou B et un point
quelconque entre les armatures.
5) Soit Q la charge portée par l’armature positive,
Q = CU or Q et U s’expriment facilement en fonction de E. Après simplification il ne reste dans l’expression de la capacité que les caractéristiques électrique et géométrique du condensateur.
La photocopie non autorisée est un délit.
5 • Quelle est l’expression de la capacité de ce condensateur, c’est à dire le rapport C = Q / U avec Q = sS pour
la surface S des plaques ?
Énergie d’une liaison ionique
L’énergie potentielle du système (Na
+
,Cl
–
) a pour expression E p (r) =–q
2
/4πε 0 r + λq/4πε 0 r
9
.
1 • À quoi correspond le 2
e
terme ? Quel est le signe de l ?
Montrer qu’il est nécessaire à l’existence de positions
d’équilibre du système.
2 • On donne r =241 pm à l’équilibre. Calculer E d l’énergie de dissociation de la liaison entre ces deux ions.
Exprimer le résultat en eV puis en kJ /mol.
3 • Comment ces résultats peuvent être changés pour le
cristal NaCl ?
15
3 • La particule étant en A, on l’écarte de a. Donner une
estimation de a m , la valeur maximale de a telle que la
particule ait des oscillations sinusoïdales autour de A.
Quelle est alors leur pulsation ?
4 • Application numérique pour l’hydrogène : R =53 pm.
Champ, potentiel et capacité
d’un condensateur plan
(INCONTOURNABLE)
Soient deux plaques de surface S, dans le vide, chargées
uniformément avec des densités + σ et – σ, planes et
parallèles distantes de e, formant un condensateur. On
considère que les plaques se comportent comme des
plaques infinies.
1 • Montrer que le champ électrique est uniforme dans les
trois zones de l’espace: z – e /2, – e /2 z + e /2, et
z + e /2 en tout point de l’espace.
2 • En raisonnant sur l’expression du champ créé par un
plan infini uniformément chargé trouver l’expression du
champ entre les plaques et à l’extérieur.
3 • Pouvait-on arriver au même résultat en appliquant le
théorème de Gauss au champ électrostatique créé par l’ensemble des deux plaques sans hypothèse supplémentaire ?
4 • Donner l’expression de V(z) en prenant V(B) = 0 et
V(A) = U.
z
e
plaque (B)
0
plaque (A)
y
e z
– s
+ s
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EXERCICES
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
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Conseils
Bien considérer les cas : x – R et x + R (où le
champ créé par la sphère devient celui d’une charge
ponctuelle), et – R x + R où le champ créé par
la sphère varie linéairement en x. Revoir en détail
l’exercice 10 incontournable.
Pour trouver une position d’équilibre on peut raisonner sur l’extremum de l’énergie potentielle ou, ce qui
revient au même, la nullité de la résultante des forces.
Une position d’équilibre stable correspond à un minimum d’énergie potentielle.
Conseils
1) L’exposant suggère une interaction très forte et de
très courte distance. D’autre part pour qu’existe une
position d’équilibre il faut compenser la force d’attraction qui dérive du 1 er terme par une force de
répulsion, ce qui implique l 0.
2) À l’équilibre (stable) l’énergie potentielle est minimale. Dissocier la liaison revient à éloigner infiniment les deux ions. L’énergie à fournir est donc la
différence d’énergie des états lié et non lié.
Conseils
1) Une étude des symétries et invariances permet de
montrer que E est selon z et ne dépend que de z. À
partir de là on applique le théorème de Gauss à des
surfaces situées en dehors des plaques.
2) Appliquer le théorème de superposition en veillant
à bien orienter les deux champs créés par les deux
plaques. Distinguer les cas z e /2 et z e /2.
3) Bien se demander si les flux sortant des bases
«horizontales » de la surface de Gauss s’ajoutent ou
se retranchent, sont égaux ou pas. Remarquer que le
plan z =0 est un plan d’antisymétrie de la distribution donc E(z) =–E(– z) ici.
4) Chercher la primitive du champ pour trouver V(z).
Ne pas oublier les constantes d’intégration. Ou bien
exploiter la circulation entre A ou B et un point
quelconque entre les armatures.
5) Soit Q la charge portée par l’armature positive,
Q = CU or Q et U s’expriment facilement en fonction de E. Après simplification il ne reste dans l’expression de la capacité que les caractéristiques électrique et géométrique du condensateur.