©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • La densité de charge r est uniforme. Expliciter E
➞
(M)
et le potentiel V(M) pour tout point M .
4 • Reprendre la même question si la sphère est chargée
uniquement en surface, avec une densité surfacique s
uniforme.
Analogie gravitationnelle :
champ de pesanteur
dans une cavité sphérique
1 • On considère une sphère chargée de rayon R , de densité volumique de charge uniforme r . Rappeler l’expression du champ électrique en tout point M situé à l’intérieur de la sphère à une distance r (r < R) du centre.
2 • Déterminer le champ de gravitation à l’intérieur de la
Terre, assimilée à une sphère de masse volumique r uniforme de centre O .
3 • On imagine une cavité sphérique de rayon R′, et de
centre C situé à une distance h du centre de la Terre.
Déterminer le champ de gravitation en un point M de la
cavité.
Modélisation d’un noyau
Du point de vue du potentiel et du champ électrique qu’ils
créent, les noyaux de certains atomes légers peuvent être
modélisés par une distribution volumique de charge à
l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a. On
12
11
désigne par r
➞
= OP
— ➞ , le vecteur position d’un point P
quelconque de l’espace. Pour r a, la charge volumique
r(P) qui représente le noyau varie en fonction de r suivant
la loi :
r = r 0 1 –
où r 0 est une constante positive.
1 • Exprimer la charge totale Q du noyau.
2 • Calculer le champ électrique E ext (P)e n tout point P
extérieur à la sphère (r a).
3 • Calculer le champ électrique E(P)en tout point P intérieur à la sphère (r a).
4 • Exprimer le potentiel V ext (P)crée par le noyau lorsque
r a.
5 • Exprimer le potentiel V int (P)crée par le noyau lorsque
r a.
Interaction proton – électron
(Modèle de Thomson de l’atome
d’hydrogène)
Le centre d’une sphère de rayon R, chargée uniformément
en volume, portant une charge Q (Q 0), est placé à
l’origine d’un repère R =(0 ; i
➞
, j
➞
, k
➞
). Il règne partout dans
l’espace un champ E
➞
0 = E 0 e
➞
x (E 0 0) uniforme.
1 • Déterminer le champ E en un point quelconque de
l’axe Ox. Donner l’allure de E = f (x).
2 • Une particule chargée de charge – q, q 0 et de
masse m est libre de se déplacer selon Ox. Montrer qu’il
existe deux positions d’équilibre sur l’axe Ox, à condition
que E 0 vérifie une certaine inégalité que l’on donnera.
Déterminer le point A correspondant à une position stable.
13
r 2
a 2
EXERCICES
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
423
Conseils
Sur quelles surfaces le champ E
➞ a-t-il une norme
uniforme ? C’est avec de telles surfaces qu’il faut
appliquer le théorème de Gauss.
On fera attention à bien distinguer les points situés à
l’intérieur de la sphère et ceux qui sont situés à l’extérieur.
Le champ E
➞ et le potentiel V sont-ils des fonctions
continues des coordonnées ?
Conseils
1) La distribution est à symétrie sphérique.
Néanmoins elle est non uniforme, il faut donc calculer une intégrale pour obtenir la charge totale. Les
invariances permettent de poser une intégrale simple
et non multiple.
2) À l’extérieur d’une distribution à symétrie sphérique, MÊME NON UNIFORME, la distribution se
comporte comme une charge ponctuelle.
3) Dans le cas du champ intérieur on peut appliquer
le théorème de Gauss. Pour calculer la charge intérieure on peut reprendre le résultat de la question 1
pour une sphère de rayon r.
4) 5) Enfin le calcul du potentiel s’obtient par intégration du champ en prenant V =0 à l’infini puisque la distribution est finie et en assurant sa continuité en r = R.
Conseils
Le champ étant à symétrie sphérique, il se calcule
simplement en appliquant le théorème de Gauss.
Quelle est la charge Q(r) contenue à l’intérieur
d’une sphère de rayon r ?
Pour trouver les grandeurs analogues entre les
champs de gravitation et électrostatique, écrire côte à
côte les lois de Newton et de Coulomb.
La solution simple repose sur le principe de superposition. Il faut trouver deux distributions sphériques
dont la combinaison est identique au système étudié.
À noter : Garder l’expression intrinsèque des champs
au moyen des vecteurs-position.
La photocopie non autorisée est un délit.
3 • La densité de charge r est uniforme. Expliciter E
➞
(M)
et le potentiel V(M) pour tout point M .
4 • Reprendre la même question si la sphère est chargée
uniquement en surface, avec une densité surfacique s
uniforme.
Analogie gravitationnelle :
champ de pesanteur
dans une cavité sphérique
1 • On considère une sphère chargée de rayon R , de densité volumique de charge uniforme r . Rappeler l’expression du champ électrique en tout point M situé à l’intérieur de la sphère à une distance r (r < R) du centre.
2 • Déterminer le champ de gravitation à l’intérieur de la
Terre, assimilée à une sphère de masse volumique r uniforme de centre O .
3 • On imagine une cavité sphérique de rayon R′, et de
centre C situé à une distance h du centre de la Terre.
Déterminer le champ de gravitation en un point M de la
cavité.
Modélisation d’un noyau
Du point de vue du potentiel et du champ électrique qu’ils
créent, les noyaux de certains atomes légers peuvent être
modélisés par une distribution volumique de charge à
l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a. On
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désigne par r
➞
= OP
— ➞ , le vecteur position d’un point P
quelconque de l’espace. Pour r a, la charge volumique
r(P) qui représente le noyau varie en fonction de r suivant
la loi :
r = r 0 1 –
où r 0 est une constante positive.
1 • Exprimer la charge totale Q du noyau.
2 • Calculer le champ électrique E ext (P)e n tout point P
extérieur à la sphère (r a).
3 • Calculer le champ électrique E(P)en tout point P intérieur à la sphère (r a).
4 • Exprimer le potentiel V ext (P)crée par le noyau lorsque
r a.
5 • Exprimer le potentiel V int (P)crée par le noyau lorsque
r a.
Interaction proton – électron
(Modèle de Thomson de l’atome
d’hydrogène)
Le centre d’une sphère de rayon R, chargée uniformément
en volume, portant une charge Q (Q 0), est placé à
l’origine d’un repère R =(0 ; i
➞
, j
➞
, k
➞
). Il règne partout dans
l’espace un champ E
➞
0 = E 0 e
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x (E 0 0) uniforme.
1 • Déterminer le champ E en un point quelconque de
l’axe Ox. Donner l’allure de E = f (x).
2 • Une particule chargée de charge – q, q 0 et de
masse m est libre de se déplacer selon Ox. Montrer qu’il
existe deux positions d’équilibre sur l’axe Ox, à condition
que E 0 vérifie une certaine inégalité que l’on donnera.
Déterminer le point A correspondant à une position stable.
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r 2
a 2
EXERCICES
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
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Conseils
Sur quelles surfaces le champ E
➞ a-t-il une norme
uniforme ? C’est avec de telles surfaces qu’il faut
appliquer le théorème de Gauss.
On fera attention à bien distinguer les points situés à
l’intérieur de la sphère et ceux qui sont situés à l’extérieur.
Le champ E
➞ et le potentiel V sont-ils des fonctions
continues des coordonnées ?
Conseils
1) La distribution est à symétrie sphérique.
Néanmoins elle est non uniforme, il faut donc calculer une intégrale pour obtenir la charge totale. Les
invariances permettent de poser une intégrale simple
et non multiple.
2) À l’extérieur d’une distribution à symétrie sphérique, MÊME NON UNIFORME, la distribution se
comporte comme une charge ponctuelle.
3) Dans le cas du champ intérieur on peut appliquer
le théorème de Gauss. Pour calculer la charge intérieure on peut reprendre le résultat de la question 1
pour une sphère de rayon r.
4) 5) Enfin le calcul du potentiel s’obtient par intégration du champ en prenant V =0 à l’infini puisque la distribution est finie et en assurant sa continuité en r = R.
Conseils
Le champ étant à symétrie sphérique, il se calcule
simplement en appliquant le théorème de Gauss.
Quelle est la charge Q(r) contenue à l’intérieur
d’une sphère de rayon r ?
Pour trouver les grandeurs analogues entre les
champs de gravitation et électrostatique, écrire côte à
côte les lois de Newton et de Coulomb.
La solution simple repose sur le principe de superposition. Il faut trouver deux distributions sphériques
dont la combinaison est identique au système étudié.
À noter : Garder l’expression intrinsèque des champs
au moyen des vecteurs-position.