©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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4 • Calculer le potentiel V en tout point de l’espace.
5 • Définir la densité surfacique s associée à ce système.
Exprimer E
➞ en fonction de s .
6 • On fait tendre l’épaisseur e vers zéro en maintenant
constante la densité surfacique s .
Que devient l’expression de E
➞ ?
7 • Retrouver l’expression de E
➞ obtenue en 3 par la
superposition de plans élémentaires, d’épaisseur dz, en
exploitant le résultat obtenu en 6.
Champ créé par une sphère
chargée en volume
(INCONTOURNABLE)
Une sphère de rayon a et de centre O est chargée électriquement avec une densité volumique r(r) qui ne
dépend que de la distance r au centre. On note Q la charge totale de la sphère.
1 • Quel est le système de coordonnées le mieux adapté ?
Analyser les symétries du système. Que peut-on en déduire pour la direction du champ électrique E
➞ ? De quelle
coordonnée E
➞ dépend-il ?
2 • Donner l’expression du vecteur champ électrique E
➞
en un point quelconque de l’espace. On notera Q(r) la
charge contenue dans la sphère de rayon r .
10
e
z
x
+ e
2
– e
2
ρ
1 • Analyser les symétries du système. Que peut-on en
déduire pour la direction du champ électrique E
➞ (M) en un
point M quelconque de l’espace?Quel est le système de
coordonnées le mieux adapté ? De quelle coordonnée
E
➞ (M) dépend-il ?
2 • Donner l’expression du vecteur champ électrique E
➞
en un point quelconque de l’espace.
3 • Définir et calculer une densité linéique de charge l
pour ce fil. Exprimer E
➞ en fonction de l .
Que devient l’expression de E
➞ lorsqu’on fait tendre a
vers zéro en maintenant l constant ?
4 • Calculer le potentiel électrique V en un point quelconque.
5 • Reprendre toutes ces questions pour un fil qui n’est
chargé qu’en surface, avec une densité surfacique uniforme s .
Charges uniformément réparties
entre deux plans parallèles
(INCONTOURNABLE)
Entre deux plans parallèles (infiniment étendus) de cotes
z = –
et z = , se trouve une charge répartie avec une
densité volumique uniforme et égale à r .
1 • Quelle est la direction du champ électrique E
➞ ?
De quelle(s) coordonnée(s) dépend-il ?
2 • Quel est l’effet sur E
➞ d’un changement de z en – z ?
3 • En appliquant le théorème de Gauss à une surface
judicieusement choisie, déterminer le champ E
➞ en tout
point de l’espace.
e
2
e
2
9
EXERCICES
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
422
Conseils
Pour calculer un champ électrique en un point M en
utilisant le théorème de Gauss, il faut connaître la
direction du champ en tout point et les grandeurs spatiales dont il dépend. Il faut ensuite trouver, si elle
existe, une surface S passant par le point M , telle
que le flux du champ E
➞ à travers S s’exprime simplement par F = aire × E(M) . On détermine enfin
E(M) en égalant cette expression du flux à celle qui
est fournie par le théorème de Gauss.
On fera attention à bien distinguer l’intérieur du fil et
l’extérieur.
Lorsqu’il n’y a pas de répartition surfacique de charges, le champ E
➞ est une fonction continue des coordonnées de l’espace.
Le potentiel V est-il toujours une fonction continue
des coordonnées de l’espace ?
Conseils
Quelles isométries laissent le système invariant ? Que
peut-on en déduire pour E
➞ ?
On rappelle le principe du calcul de champ en un
point M par le théorème de Gauss :
• trouver une surface fermée S passant par M , telle
que le flux de E
➞ soit une fonction simple de E(M) ;
• égaler les deux expressions du flux : celle qui
dépend de E(M) , et celle qui dépend de la charge
contenue dans S .
• Si le champ E
➞ reste fini, le potentiel V est une
fonction continue des coordonnées d’espace.
• Quelle est la charge surfacique élémentaire ds
d’un plan d’épaisseur élémentaire dz ?