Le mouvement sera bien un mouvement sinusoïdal si la particule reste dans le domaine – R x + R. A est toujours
entre – R et 0, donc a m = R –
.
a m est au maximum égal à R si E 0 = 0.
Cherchons la pulsation w 0 du mouvement :
w 2
0 =
et w 0 =
6
.
4 • A.N. : w 0 =
1/2
Cette modélisation rend compte du comportement de l’électron
de l’atome d’hydrogène dans le modèle de Thomson où la charge du proton est uniformément répartie sur le volume de l’atome.
Champ, potentiel et capacité
d’un condensateur plan
1 • Commençons par étudier les symétries et invariances :
les plaques se comportant comme des plaques infinies, le système de charge est invariant par translation suivant x et y,
donc le champ ne dépend que de z :
E
➞
(M) = E
➞
(z).
Soit un point M de l’espace, tout plan perpendiculaire aux
plaques et passant par M est un plan de symétrie des charges, donc E
➞ est suivant u
➞
z :
E
➞
(M) = E(z) u
➞
z .
Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie des charges donc
E(– z) = + E(z).
Prenons les 3 surfaces de Gauss ci-dessous : il n’y a aucune
charge à l’intérieur de ces surfaces donc :
[E(z 1 ) – E(z 2 )] dS =
soit E(z 1 ) = E(z 2 ).
Le champ électrique est uniforme dans les 3 zones, mais n’a
pas nécessairement la même valeur.
z
0
– s
+ s
dS
z 1
z 2
0
e 0
14
(1,6 10 –19 ) 2 .910 9
910 –31 . (53) 3 . 10 –36
qQ
4πe 0 mR 3
qQ
4πe 0 mR 3
4πe 0 R 3 E 0
Q
2 • Rappelons qu’un plan infini uniformément chargé crée
un champ
:
Superposons les différents champs :
On retrouve bien des champs uniformes dans les 3 zones.
3 • Le plan z = 0 est plan d’antisymétrie donc
E
➞
(z) = + E
➞
(– z)
Considérons une surface de Gauss qui traverse les deux
plaques
E
➞
. dS
➞ = –
+
= 0 = E
➞
( z ) . d S
➞
1
+ E
➞
( z ) . d S
➞
2
= + E(z)S – E(– z)S
= 0 !
On ne peut que vérifier
E(z) = E(– z).
sS
e 0
sS
e 0
– s
+ s
dy S 1
dy S 2
i E (2)
i E (–z)
plan infini
charge s > 0
–
s
2e 0
y u z
s
2e 0
y u z
s
2e 0
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
436
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
composante
du champ
suivant u
➞
z
plaque
chargée
– s
plaque
chargée
+ s
ensemble
des
2 plaques
z
e
2
–
u
➞
z
s
2e 0
+
u
➞
z
s
2e 0
0
➞
–
z
e
2
e
2
+
u
➞
z
s
2e 0
+
u
➞
z
s
2e 0
u
➞
z
s
e 0
z –
e
2
+
u
➞
z
s
2e 0
–
u
➞
z
s
2e 0
0
➞
entre – R et 0, donc a m = R –
.
a m est au maximum égal à R si E 0 = 0.
Cherchons la pulsation w 0 du mouvement :
w 2
0 =
et w 0 =
6
.
4 • A.N. : w 0 =
1/2
Cette modélisation rend compte du comportement de l’électron
de l’atome d’hydrogène dans le modèle de Thomson où la charge du proton est uniformément répartie sur le volume de l’atome.
Champ, potentiel et capacité
d’un condensateur plan
1 • Commençons par étudier les symétries et invariances :
les plaques se comportant comme des plaques infinies, le système de charge est invariant par translation suivant x et y,
donc le champ ne dépend que de z :
E
➞
(M) = E
➞
(z).
Soit un point M de l’espace, tout plan perpendiculaire aux
plaques et passant par M est un plan de symétrie des charges, donc E
➞ est suivant u
➞
z :
E
➞
(M) = E(z) u
➞
z .
Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie des charges donc
E(– z) = + E(z).
Prenons les 3 surfaces de Gauss ci-dessous : il n’y a aucune
charge à l’intérieur de ces surfaces donc :
[E(z 1 ) – E(z 2 )] dS =
soit E(z 1 ) = E(z 2 ).
Le champ électrique est uniforme dans les 3 zones, mais n’a
pas nécessairement la même valeur.
z
0
– s
+ s
dS
z 1
z 2
0
e 0
14
(1,6 10 –19 ) 2 .910 9
910 –31 . (53) 3 . 10 –36
4πe 0 mR 3
4πe 0 mR 3
4πe 0 R 3 E 0
Q
2 • Rappelons qu’un plan infini uniformément chargé crée
un champ
:
Superposons les différents champs :
On retrouve bien des champs uniformes dans les 3 zones.
3 • Le plan z = 0 est plan d’antisymétrie donc
E
➞
(z) = + E
➞
(– z)
Considérons une surface de Gauss qui traverse les deux
plaques
E
➞
. dS
➞ = –
+
= 0 = E
➞
( z ) . d S
➞
1
+ E
➞
( z ) . d S
➞
2
= + E(z)S – E(– z)S
= 0 !
On ne peut que vérifier
E(z) = E(– z).
sS
e 0
sS
e 0
– s
+ s
dy S 1
dy S 2
i E (2)
i E (–z)
plan infini
charge s > 0
–
s
2e 0
y u z
s
2e 0
y u z
s
2e 0
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
436
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
composante
du champ
suivant u
➞
z
plaque
chargée
– s
plaque
chargée
+ s
ensemble
des
2 plaques
z
e
2
–
u
➞
z
s
2e 0
+
u
➞
z
s
2e 0
0
➞
–
z
e
2
e
2
+
u
➞
z
s
2e 0
+
u
➞
z
s
2e 0
u
➞
z
s
e 0
z –
e
2
+
u
➞
z
s
2e 0
–
u
➞
z
s
2e 0
0
➞