ESSENTIEL
Oscillateurs
4
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillations forcées
L’oscillateur précédent est soumis àu ne force excitatrice F
➞
A = F A (t)e
➞
x .L’équationd um ouvement
est alors :
¨
x +2a ·
x+w
2
0 x=.
La solution de cette équation est de la forme x(t) = x 0 (t)+x 1 (t),où x 0 (t)e st la solution générale de
l’équation homogène associée (régime libre) et x 1 (t)u ne solution particulière (régime forcé).
L’oscillateur étant amorti, le régime libre tend vers 0quand t augmente. Au bout d’un certain temps,
seul subsiste le régime forcé. On appelle régime transitoirel er égime représenté par x(t)t ant que
x 0 (t)n ’est pas négligeable devant x 1 (t).
Quand plusieurs excitations agissent sur un oscillateur linéaire, la réponse de celui-ci est la somme
de ses réponses àchacune des excitations prises isolément.
Résonances
L’oscillateur est soumis àune excitation sinusoïdale de pulsation w :
F A (t)=mw 2
0 x A m cos wt.
La réponse en régime forcé (ou régime permanent) est de la forme x(t) = x m cos(w t + j), où x m et
j dépendent de w .
On utilise alors les grandeurs complexes associées aux grandeurs sinusoïdales :àl ag randeur
u(t) = U m cos (w t + j),o na ssocie la grandeur complexe u(t) = U m e
j (w t + j)
= U m e
j w t
,
où U m = U m e
jj
est l’amplitude complexe de u(t). On obtient u(t)enprenant la partie réelle de u(t)
et l’amplitude réelle U m en prenant le modulede U m .
L’amplitude x m (w)p asse par un extremum pour w = 0.Ilyarésonance d’élongation (autre extremum
de x m (w)) si Q
.C ette résonance al ieu pour w r = w 0 8
1–
.S il ’amortissemente st
faible, w r ≈ w 0 et l’amplitude maximale X m est égale à Qx A m .Lesystème effectue un filtrage passebas ou passe-bande pour sa réponse en élongation, selon que Q
ou Q
.
Il yarésonance de vitesse pour w = w 0 quelle que soit la valeur du facteur de qualité. L’amplitude
de la vitesse àlarésonance est V max = Qw 0 x A m .Lesystème effectue un filtrage passe-bande pour sa
réponse en vitesse. La bande passante Δw à3dBest la bande de pulsation àl’intérieur de laquelle
l’amplitude de la vitesse satisfait àl’inégalité V m (w)
.
La bande passante (pour la vitesse) et le facteur de qualité sont reliés par l’équation
=.
Le calcul de la bande passante pour l’élongation (quand il yarésonance) est beaucoup plus lourd.
Cependant, dans le cas d’un amortissement faible (Q >> 1) ,onretrouve la mêmerelation.
1
Q
Δw
w 0
V max
12
1
12
1
12
1
2Q
2
1
12
F A (t)
m
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Oscillateurs
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillations forcées
L’oscillateur précédent est soumis àu ne force excitatrice F
➞
A = F A (t)e
➞
x .L’équationd um ouvement
est alors :
¨
x +2a ·
x+w
2
0 x=.
La solution de cette équation est de la forme x(t) = x 0 (t)+x 1 (t),où x 0 (t)e st la solution générale de
l’équation homogène associée (régime libre) et x 1 (t)u ne solution particulière (régime forcé).
L’oscillateur étant amorti, le régime libre tend vers 0quand t augmente. Au bout d’un certain temps,
seul subsiste le régime forcé. On appelle régime transitoirel er égime représenté par x(t)t ant que
x 0 (t)n ’est pas négligeable devant x 1 (t).
Quand plusieurs excitations agissent sur un oscillateur linéaire, la réponse de celui-ci est la somme
de ses réponses àchacune des excitations prises isolément.
Résonances
L’oscillateur est soumis àune excitation sinusoïdale de pulsation w :
F A (t)=mw 2
0 x A m cos wt.
La réponse en régime forcé (ou régime permanent) est de la forme x(t) = x m cos(w t + j), où x m et
j dépendent de w .
On utilise alors les grandeurs complexes associées aux grandeurs sinusoïdales :àl ag randeur
u(t) = U m cos (w t + j),o na ssocie la grandeur complexe u(t) = U m e
j (w t + j)
= U m e
j w t
,
où U m = U m e
jj
est l’amplitude complexe de u(t). On obtient u(t)enprenant la partie réelle de u(t)
et l’amplitude réelle U m en prenant le modulede U m .
L’amplitude x m (w)p asse par un extremum pour w = 0.Ilyarésonance d’élongation (autre extremum
de x m (w)) si Q
.C ette résonance al ieu pour w r = w 0 8
1–
.S il ’amortissemente st
faible, w r ≈ w 0 et l’amplitude maximale X m est égale à Qx A m .Lesystème effectue un filtrage passebas ou passe-bande pour sa réponse en élongation, selon que Q
ou Q
.
Il yarésonance de vitesse pour w = w 0 quelle que soit la valeur du facteur de qualité. L’amplitude
de la vitesse àlarésonance est V max = Qw 0 x A m .Lesystème effectue un filtrage passe-bande pour sa
réponse en vitesse. La bande passante Δw à3dBest la bande de pulsation àl’intérieur de laquelle
l’amplitude de la vitesse satisfait àl’inégalité V m (w)
.
La bande passante (pour la vitesse) et le facteur de qualité sont reliés par l’équation
=.
Le calcul de la bande passante pour l’élongation (quand il yarésonance) est beaucoup plus lourd.
Cependant, dans le cas d’un amortissement faible (Q >> 1) ,onretrouve la mêmerelation.
1
Q
Δw
w 0
V max
12
1
12
1
12
1
2Q
2
1
12
F A (t)
m
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