4 Oscillateurs
LES OBJECTIFS
• Connaîtrel ar éponse d’un oscillateur àd ifférents
types d’excitation.
LES PRÉREQUIS
• Lois de Newton.
LES OUTILS MATHÉMATIQUES
• Résolution des équations différentielles du deuxième
ordreàcoefficients constants.
• Notation complexe.
• Calculs sur les nombres complexes.
ESSENTIEL
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
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Oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique estunsystème àundegré de liberté dont l’équation du mouvement est de
la forme ¨
x + w 0
2 x = 0,quelle que soit la nature physique de la variable x .Ilest soumis àune force
de rappel f = –k x qui dérive de l’énergie potentielle p (x)=
.I le ffectue des oscillations isochrones de pulsation w 0 = 1 et de période T 0 =. L’énergie mécanique de l’oscillateur
harmonique se conserve.
Oscillateur amorti parfrottements visqueux
Sousl’effet d’uneforce de frottement fluide f
➞ = – hv
➞ = – h ·
xe
➞
x ,l’équation du mouvement de l’oscillateurest ·· x +2a ·
x+w 0
2
x =0a vec 2a ==
, Q est le facteur de qualitédel’oscillateur.
• Si a > w 0 ou Q <1/2 :lemouvement est apériodique.
• Si a = w 0 ou Q = 1/2 :lemouvement est critique.
• Si a < w 0 ou Q >1/2 :lemouvement est pseudo-périodique (la solution est le produit d’une exponentielle et d’une sinusoïde) de pseudo-période :
T =a vec w = 9w 2
0 – a 2 = w 0 9
1–
.
Pour les faibles amortissements (a << w 0 ou Q >> 1), la variation relative de l’énergie mécanique
au cours d’une pseudo-période est
=–
,ouencore
(voir exercice 2).
2π
Q
Δ M
M
Q = 2π Δ Μ
M
1
4Q
2
2π
w
w 0
Q
h
m
2p
w 0
k
m
kx
2
2