ESSENTIEL
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Analogie avec le champ de gravitation
• Une particule de masse m placée en M , en présence d’une distribution de masses , subit une
force d’origine gravitionnelle : F
➞ = m
➞ (M), où (M) est le champ de gravitation créé en M par la
distribution .
• Le champ de gravitation
➞ (M), créé en M par une particule de masse m située en P, a pour
expression :
➞ (M) = –
avec e
➞
PM le vecteur unitaire orienté de P vers M .
Théorème de Gauss :
• Le flux sortant du champ de gravitation
➞ créé par une distribution de masses à travers une surface fermée S est égal à la masse située à l’intérieur de S multipliée par – 4π G :
F =
➞
. dS
➞ =
➞
.n
➞
ext dS = – 4π GM int .
• À l’extérieur d’un astre à symétrie de révolution, le champ de gravitation
➞ est le même que celui
créé par un point matériel placé au centre de l’astre et dont la masse est celle de l’astre.
• Bien que les phénomènes soient différents, il y a une analogie formelle entre le champ électrostatique et le champ de gravitation. Nous pourrons appliquer les résultats issus de l’électrostatique au
cas de la gravitation, en respectant les correspondances du tableau :
S
S
Gme
➞
PM
PM
2
417
électrostatique
gravitation
champ E
➞
champ
➞ (≈ g
➞ pour le champ terrestre)
charge q
masse m
densité volumique de charge r masse volumique r
constante K =
constante – G
1
4 π 0
ε
Conseils et pièges à éviter
• Pour trouver l’orientation d’un champ en un point M, toujours étudier les plans de symétrie ou
d’antisymétrie passant par ce point M.
• Le théorème de Gauss n’est facilement applicable que si l’on connaît les symétries, orientations,
invariances du champ E
➞ .
• On a toujours :
V(B) – V(A) =
B
A
—➞
grad V. dM
➞ = –
B
A
E
➞ dM
➞
ou
B
A
E
➞ dM
➞ = V(A) – V(B)
• Le potentiel est toujours continu (sauf sur un fil ou une charge ponctuelle, où il n’est pas défini) :
ne pas oublier les constantes d’intégration, dans le calcul de V à partir de E
➞
.
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Analogie avec le champ de gravitation
• Une particule de masse m placée en M , en présence d’une distribution de masses , subit une
force d’origine gravitionnelle : F
➞ = m
➞ (M), où (M) est le champ de gravitation créé en M par la
distribution .
• Le champ de gravitation
➞ (M), créé en M par une particule de masse m située en P, a pour
expression :
➞ (M) = –
avec e
➞
PM le vecteur unitaire orienté de P vers M .
Théorème de Gauss :
• Le flux sortant du champ de gravitation
➞ créé par une distribution de masses à travers une surface fermée S est égal à la masse située à l’intérieur de S multipliée par – 4π G :
F =
➞
. dS
➞ =
➞
.n
➞
ext dS = – 4π GM int .
• À l’extérieur d’un astre à symétrie de révolution, le champ de gravitation
➞ est le même que celui
créé par un point matériel placé au centre de l’astre et dont la masse est celle de l’astre.
• Bien que les phénomènes soient différents, il y a une analogie formelle entre le champ électrostatique et le champ de gravitation. Nous pourrons appliquer les résultats issus de l’électrostatique au
cas de la gravitation, en respectant les correspondances du tableau :
S
S
Gme
➞
PM
PM
2
417
électrostatique
gravitation
champ E
➞
champ
➞ (≈ g
➞ pour le champ terrestre)
charge q
masse m
densité volumique de charge r masse volumique r
constante K =
constante – G
1
4 π 0
ε
Conseils et pièges à éviter
• Pour trouver l’orientation d’un champ en un point M, toujours étudier les plans de symétrie ou
d’antisymétrie passant par ce point M.
• Le théorème de Gauss n’est facilement applicable que si l’on connaît les symétries, orientations,
invariances du champ E
➞ .
• On a toujours :
V(B) – V(A) =
B
A
—➞
grad V. dM
➞ = –
B
A
E
➞ dM
➞
ou
B
A
E
➞ dM
➞ = V(A) – V(B)
• Le potentiel est toujours continu (sauf sur un fil ou une charge ponctuelle, où il n’est pas défini) :
ne pas oublier les constantes d’intégration, dans le calcul de V à partir de E
➞
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