©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution ? En déduire quelques propriétés de E
➞
.
2 • Àquelle condition sur a et R cette distribution peut
rendre compte de la modélisation suivante : une sphère de
centre O (milieu de O 1 O 2 ), de rayon R portant une répartition surfacique de charges s ?
Montrer que s = s 0 cos q ; déterminer s 0 .
3 • Reprendre la même étude avec deux cylindres identiques de rayon R uniformément chargés avec – r et
+ r , dont les axes sont parallèles et distants de a.
y
z
O
R
q
Étude des invariances
et symétries
Étudier les invariances et symétries des distributions suivantes, ainsi que leurs conséquences sur la direction du
champ électrostatique E :
1 • a) Plan uniformément chargé,
b) Cylindre uniformément chargé,
c) Sphère uniformément chargée.
2 • Deux charges: + q en (– a, 0, 0 ) et – q en (+ a, 0, 0).
3 • Bi-couche chargée avec – r pour – a z 0 et
+ r pour 0 z a.
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
On considère 2 sphères identiques, de rayon R, de centres
respectifs O 1 et O 2 distants de a (O 1 O 2 = a), et chargées
respectivement avec des densités volumiques uniformes
mais opposées : – r et + r.
y
+ r
– r
a
z
R
R
O 1 O 2
2
1
418
Exercices
Conseils
FAIRE DES SCHÉMAS CLAIRS où figurent les
vecteurs de base, le champ E et le point M. Souvent
une projection dans un plan est plus explicite et plus
facile à représenter qu’un schéma en perspective,
pensez-y !
1) Adopter le système de coordonnées le mieux adapté à la distribution pour étudier les invariances et
nommer plans de symétries (coordonnées cartésiennes pour un plan ou une couche plane, coordonnées
cylindriques pour les distributions présentant une
invariance par rotation autour d’un axe, coordonnées
sphériques pour une sphère).
2) Un seul plan de symétrie ne suffit pas pour conclure quant à la direction du champ E.
3) Il faut que le point où la direction de E est cherchée appartienne aux plans de symétrie pour conclure : exemple z =0 est bien ici un plan d’antisymétrie
mais on ne peut en conclure que E est selon Oz
qu’en z =0!!
Conseils
– Le mieux est de travailler en système de coordonnées sphériques de centre O et d’axe Oz (invariance par rotation de j autour de Oz).
– Quelle est la dimension a priori petite devant les
autres qui permet d’envisager une répartition surfacique ?
– Pour déterminer s , on utilisera l’invariance par
rotation autour de z et on déterminera d’une part le
volume dt délimité entre les 2 sphères par dq (entre
q et q + dq) et la surface dS délimitée sur la sphère de centre O par le même dq. On écrira que les
charges portées par ces deux éléments sont identiques.
– Dans le cas des deux cylindres, le mieux sera de travailler en système de coordonnées cylindriques d’axe
Oz, axe des cylindres.
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution ? En déduire quelques propriétés de E
➞
.
2 • Àquelle condition sur a et R cette distribution peut
rendre compte de la modélisation suivante : une sphère de
centre O (milieu de O 1 O 2 ), de rayon R portant une répartition surfacique de charges s ?
Montrer que s = s 0 cos q ; déterminer s 0 .
3 • Reprendre la même étude avec deux cylindres identiques de rayon R uniformément chargés avec – r et
+ r , dont les axes sont parallèles et distants de a.
y
z
O
R
q
Étude des invariances
et symétries
Étudier les invariances et symétries des distributions suivantes, ainsi que leurs conséquences sur la direction du
champ électrostatique E :
1 • a) Plan uniformément chargé,
b) Cylindre uniformément chargé,
c) Sphère uniformément chargée.
2 • Deux charges: + q en (– a, 0, 0 ) et – q en (+ a, 0, 0).
3 • Bi-couche chargée avec – r pour – a z 0 et
+ r pour 0 z a.
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
On considère 2 sphères identiques, de rayon R, de centres
respectifs O 1 et O 2 distants de a (O 1 O 2 = a), et chargées
respectivement avec des densités volumiques uniformes
mais opposées : – r et + r.
y
+ r
– r
a
z
R
R
O 1 O 2
2
1
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Exercices
Conseils
FAIRE DES SCHÉMAS CLAIRS où figurent les
vecteurs de base, le champ E et le point M. Souvent
une projection dans un plan est plus explicite et plus
facile à représenter qu’un schéma en perspective,
pensez-y !
1) Adopter le système de coordonnées le mieux adapté à la distribution pour étudier les invariances et
nommer plans de symétries (coordonnées cartésiennes pour un plan ou une couche plane, coordonnées
cylindriques pour les distributions présentant une
invariance par rotation autour d’un axe, coordonnées
sphériques pour une sphère).
2) Un seul plan de symétrie ne suffit pas pour conclure quant à la direction du champ E.
3) Il faut que le point où la direction de E est cherchée appartienne aux plans de symétrie pour conclure : exemple z =0 est bien ici un plan d’antisymétrie
mais on ne peut en conclure que E est selon Oz
qu’en z =0!!
Conseils
– Le mieux est de travailler en système de coordonnées sphériques de centre O et d’axe Oz (invariance par rotation de j autour de Oz).
– Quelle est la dimension a priori petite devant les
autres qui permet d’envisager une répartition surfacique ?
– Pour déterminer s , on utilisera l’invariance par
rotation autour de z et on déterminera d’une part le
volume dt délimité entre les 2 sphères par dq (entre
q et q + dq) et la surface dS délimitée sur la sphère de centre O par le même dq. On écrira que les
charges portées par ces deux éléments sont identiques.
– Dans le cas des deux cylindres, le mieux sera de travailler en système de coordonnées cylindriques d’axe
Oz, axe des cylindres.