ESSENTIEL
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• En l’absence de charges, le flux du champ électrostatique est conservatif : le flux est le même à travers toutes les sections d’un même tube de champ.
Discontinuité du champ
À la traversée d’une surface chargée, le champ électrostatique subit une discontinuité normale à la
surface traversée :
Détermination d’un champ à l’aide du théorème de Gauss
• Le théorème de Gauss constitue un outil de calcul rapide du champ électrostatique créé par une distribution de charges possédant une symétrie élevée : après détermination de la forme du champ, à l’aide de considérations de symétries et d’invariances, l’application du théorème de Gauss à une surface
fermée, de géométrie adaptée aux symétries du problème, permet de déterminer la norme du champ,
en tout point de cette surface.
Potentiel électrostatique
• Circulation du champ électrostatique
• À tout champ électrostatique E
➞
(M) , il est possible d’associer une fonction scalaire V(M) appelée
potentiel électrostatique et telle que E
➞ = –
—➞
grad V .
• Le potentiel est défini à une constante additive près.
• La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B ne dépend pas du trajet (G ) qui
les relie :
E
➞ .
—
d
➞ =
–
— ➞
grad V.
—
d
➞ =
A
B
dV = V(A) – V(B) .
• La circulation de E
➞ sur un contour (courbe fermée) est nulle.
• Le champ électrostatique est normal aux surfaces équipotentielles ; les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants.
• Le potentiel électrostatique ne possède pas d’extremum en dehors des charges.
• Détermination du potentiel
• Le potentiel créé en M par une charge ponctuelle q située en P est (en posant V = 0 à l’infini) :
• Le potentiel créé par un ensemble de charges d’extension finie peut se calculer, en posant V = 0 à
l’infini, à partir de la relation précédente par superposition : somme ou intégrale selon le type de système chargé, ou par intégration de E
➞ = –
—➞
gradV .
Énergie potentielle
• L’énergie potentielle d’interaction, entre une particule de charge q, de position M et un champ
électrostatique E
➞
(M) associé au potentiel V(M) , est P = qV .
• L’énergie potentielle d’interaction de deux charges q 1 et q 2 situées en M 1 et M 2 est :
P int =
1
4 0
12
12
π ε
qq
MM
.
q
PM
.
VM () =
1
4 0
π ε
A
B
A
B
EE 21
0
➞➞
➞
–. =
s
e
n 12
416
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• En l’absence de charges, le flux du champ électrostatique est conservatif : le flux est le même à travers toutes les sections d’un même tube de champ.
Discontinuité du champ
À la traversée d’une surface chargée, le champ électrostatique subit une discontinuité normale à la
surface traversée :
Détermination d’un champ à l’aide du théorème de Gauss
• Le théorème de Gauss constitue un outil de calcul rapide du champ électrostatique créé par une distribution de charges possédant une symétrie élevée : après détermination de la forme du champ, à l’aide de considérations de symétries et d’invariances, l’application du théorème de Gauss à une surface
fermée, de géométrie adaptée aux symétries du problème, permet de déterminer la norme du champ,
en tout point de cette surface.
Potentiel électrostatique
• Circulation du champ électrostatique
• À tout champ électrostatique E
➞
(M) , il est possible d’associer une fonction scalaire V(M) appelée
potentiel électrostatique et telle que E
➞ = –
—➞
grad V .
• Le potentiel est défini à une constante additive près.
• La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B ne dépend pas du trajet (G ) qui
les relie :
E
➞ .
—
d
➞ =
–
— ➞
grad V.
—
d
➞ =
A
B
dV = V(A) – V(B) .
• La circulation de E
➞ sur un contour (courbe fermée) est nulle.
• Le champ électrostatique est normal aux surfaces équipotentielles ; les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants.
• Le potentiel électrostatique ne possède pas d’extremum en dehors des charges.
• Détermination du potentiel
• Le potentiel créé en M par une charge ponctuelle q située en P est (en posant V = 0 à l’infini) :
• Le potentiel créé par un ensemble de charges d’extension finie peut se calculer, en posant V = 0 à
l’infini, à partir de la relation précédente par superposition : somme ou intégrale selon le type de système chargé, ou par intégration de E
➞ = –
—➞
gradV .
Énergie potentielle
• L’énergie potentielle d’interaction, entre une particule de charge q, de position M et un champ
électrostatique E
➞
(M) associé au potentiel V(M) , est P = qV .
• L’énergie potentielle d’interaction de deux charges q 1 et q 2 situées en M 1 et M 2 est :
P int =
1
4 0
12
12
π ε
MM
.
q
PM
.
VM () =
1
4 0
π ε
A
B
A
B
EE 21
0
➞➞
➞
–. =
s
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