ESSENTIEL
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• La constante e 0 est appelée permittivité électrique du vide.
e 0 ≈ 8,84 .10 –12 F .m –1 (farad par mètre) et
≈ 9 .10 9 m.F –1 (valeur à retenir).
• Principe du calcul
On décompose le système en particules ponctuelles, ou en éléments infinitésimaux de position donnée. On somme ensuite les vecteurs champs électrostatiques créés par chacun de ces éléments.
• Ensemble de charges ponctuelles
N charges q i situées aux points P i créent en M un champ :
.
• Distribution volumique
Lorsque la charge électrique est répartie de façon continue dans un volume, on définit une densité
volumique de charge électrique r .
• La charge dq contenue dans un élément de volume dt P , situé au voisinage du point P , est :
dq = r(P)dt P .
• Le champ créé par une distribution chargée en volume est, par superposition :
dt P .
• Distribution surfacique
Lorsque la charge électrique est répartie de façon continue sur une surface, on définit une densité surfacique de charge électrique s .
• La charge dq contenue sur une surface élémentaire d’aire dS P , située au voisinage du point P ,
est dq = s (P)dS P .
• Le champ créé par une distribution chargée en surface est, par superposition :
dS P .
• Distribution linéique
Lorsque la charge électrique est répartie de façon continue sur un fil, on définit une densité linéique
de charge électrique l .
• La charge dq contenue sur un tronçon élémentaire de longueur d , situé au voisinage du point P,
est dq = l(P)d P .
• Le champ créé par un fil chargé est, par superposition :
d P .
Symétries du champ
• Une isométrie (rotation, translation ou symétrie) qui laisse invariant le système de charges laisse
également invariant le champ électrique. Le champ électrique, qui a les mêmes symétries que le système qui le crée, a les propriétés d’un vecteur polaire ou vecteur « vrai ».
• Au point M et M symétriques par rapport à un plan-miroir P d’une distribution de charges ,
les champs électrostatiques E
➞ (M)e t E
➞ (M) sont symétriques l’un de l’autre.
l(P) e
➞
PM
PM
2
fil
EM
➞
() =
1
4 0
π e
s ( P ) e
➞
PM
PM
2
EM
➞
() =
1
4 0
π e
r(P) e
➞
PM
PM
2
EM
➞
() =
1
4 0
π e
q i e
➞
P i M
P i M
2
EM
i
N
➞
() =
=
∑
1
4 0 1
π e
1
4 0
π ε
414
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• La constante e 0 est appelée permittivité électrique du vide.
e 0 ≈ 8,84 .10 –12 F .m –1 (farad par mètre) et
≈ 9 .10 9 m.F –1 (valeur à retenir).
• Principe du calcul
On décompose le système en particules ponctuelles, ou en éléments infinitésimaux de position donnée. On somme ensuite les vecteurs champs électrostatiques créés par chacun de ces éléments.
• Ensemble de charges ponctuelles
N charges q i situées aux points P i créent en M un champ :
.
• Distribution volumique
Lorsque la charge électrique est répartie de façon continue dans un volume, on définit une densité
volumique de charge électrique r .
• La charge dq contenue dans un élément de volume dt P , situé au voisinage du point P , est :
dq = r(P)dt P .
• Le champ créé par une distribution chargée en volume est, par superposition :
dt P .
• Distribution surfacique
Lorsque la charge électrique est répartie de façon continue sur une surface, on définit une densité surfacique de charge électrique s .
• La charge dq contenue sur une surface élémentaire d’aire dS P , située au voisinage du point P ,
est dq = s (P)dS P .
• Le champ créé par une distribution chargée en surface est, par superposition :
dS P .
• Distribution linéique
Lorsque la charge électrique est répartie de façon continue sur un fil, on définit une densité linéique
de charge électrique l .
• La charge dq contenue sur un tronçon élémentaire de longueur d , situé au voisinage du point P,
est dq = l(P)d P .
• Le champ créé par un fil chargé est, par superposition :
d P .
Symétries du champ
• Une isométrie (rotation, translation ou symétrie) qui laisse invariant le système de charges laisse
également invariant le champ électrique. Le champ électrique, qui a les mêmes symétries que le système qui le crée, a les propriétés d’un vecteur polaire ou vecteur « vrai ».
• Au point M et M symétriques par rapport à un plan-miroir P d’une distribution de charges ,
les champs électrostatiques E
➞ (M)e t E
➞ (M) sont symétriques l’un de l’autre.
l(P) e
➞
PM
PM
2
fil
EM
➞
() =
1
4 0
π e
s ( P ) e
➞
PM
PM
2
EM
➞
() =
1
4 0
π e
r(P) e
➞
PM
PM
2
EM
➞
() =
1
4 0
π e
q i e
➞
P i M
P i M
2
EM
i
N
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∑
1
4 0 1
π e
1
4 0
π ε
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