> racines:=solve(diff(H(x,n),x)=0,x);
racines := 0,
,
–
Seule la valeur strictement positive de x est acceptable,
puisqu’elle seule peut définir une fréquence positive associée àu nm aximum de GdB. Il faut cependant que le
terme sous la racine soit positif :
> valeursn:=evalf([solve(-n*(-5*n+2+2*n^2)>0,n)]);
valeursn :=
RealRange(– ∞,Open(0)),
RealRange
Open
,Open(2)
On ne garde que les valeurs de n comprises entre zéro et
un donc l’intervalle ouvert ]0.5 ;1[. On adonc résonance
pour tout n compris entre 0et1donc pour tout Q supérieur à.
La pulsation de résonance vaut :( 1/n)*(-n*(-5*n+2+2*
n^2))^(1/2). Ainsi pour n =0 .9 , x =0 .99 et pour
n =0.675, x =0.83.
Traçons alors le gain et les asymptotes pour la valeur critique n =0.5 :
> Asympt:=-40*log10(x)+20*log10(3):
> plot1:=plot(subs(n=0.5,x=10^y,Asympt),y=0..0.5,color
=black):
> plot2:=plot(subs(n=0.5,x=10^y,20*log10(3/abs
(-1-2*I*x/0.5^(1/2)+2*I*0.5^(1/2)*x+x^2))),
y=–0.5..0.5,color=blue):
> plot3:=plot(20*log10(3),y=-0.5..0,color=black):
> with(plots):display([plot1,plot2,plot3]);
La courbe est ici très proche de ces asymptotes.
2 • Réponse àunéchelondetension
> restart:Q:=n->-1/2*n^(1/2)/(-1+n);omega0:=n->1/(R*
C*sqrt(n)) ;
1
12
y
–0,4
–0,2
–0,03
–0,03
0
2
4
6
8
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
0 –(–5n +2+2n 2 )n
n
0 –(–5n +2+2n 2 )n
n
Q := n → –
ω 0 := n →
Une fois définies les deux fonctions de n présentes dans
la fonction de transfert, on écrit l’équation différentielle
associée :
> Eq:=s(t)+1/(omega0(n)*Q(n))*diff(s(t),t)+1/(omega0
(n)^2)*diff(s(t),t$2)=3*e(t);
Eq := s(t)–2RC(– 1+n)
s(t)
+R 2 C 2 n
s(t)
=3e(t)
On assigne à R, C leurs valeurs et on résoud l’équation différentielle :
> R:=1000:C:=1e-6:e:=t→1:
> sol:=dsolve({Eq,s(0)=0,D(s)(0)=0},{s(t)}):
> assign(sol):
> n:=1:plot(s(t),t=0..0.05,thickness=1,color=blue);
n est égal à1,lerégime est quasisinusoïdal:eneffet le
termeene st nul et l’équation différentielle est celle
d’un oscillateur harmonique non amorti.
> n:=0.45:plot(s(t),t=0..0.01,thickness=1,color=blue);
1
2
d(s)
dt
t
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
6
5
4
3
2
1
0
∂ 2
∂ t 2
∂
∂ t
1
RC1n
1n
–1+n
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
408
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
racines := 0,
,
–
Seule la valeur strictement positive de x est acceptable,
puisqu’elle seule peut définir une fréquence positive associée àu nm aximum de GdB. Il faut cependant que le
terme sous la racine soit positif :
> valeursn:=evalf([solve(-n*(-5*n+2+2*n^2)>0,n)]);
valeursn :=
RealRange(– ∞,Open(0)),
RealRange
Open
,Open(2)
On ne garde que les valeurs de n comprises entre zéro et
un donc l’intervalle ouvert ]0.5 ;1[. On adonc résonance
pour tout n compris entre 0et1donc pour tout Q supérieur à.
La pulsation de résonance vaut :( 1/n)*(-n*(-5*n+2+2*
n^2))^(1/2). Ainsi pour n =0 .9 , x =0 .99 et pour
n =0.675, x =0.83.
Traçons alors le gain et les asymptotes pour la valeur critique n =0.5 :
> Asympt:=-40*log10(x)+20*log10(3):
> plot1:=plot(subs(n=0.5,x=10^y,Asympt),y=0..0.5,color
=black):
> plot2:=plot(subs(n=0.5,x=10^y,20*log10(3/abs
(-1-2*I*x/0.5^(1/2)+2*I*0.5^(1/2)*x+x^2))),
y=–0.5..0.5,color=blue):
> plot3:=plot(20*log10(3),y=-0.5..0,color=black):
> with(plots):display([plot1,plot2,plot3]);
La courbe est ici très proche de ces asymptotes.
2 • Réponse àunéchelondetension
> restart:Q:=n->-1/2*n^(1/2)/(-1+n);omega0:=n->1/(R*
C*sqrt(n)) ;
1
12
y
–0,4
–0,2
–0,03
–0,03
0
2
4
6
8
–2
–4
–6
–8
–10
1
2
0 –(–5n +2+2n 2 )n
n
0 –(–5n +2+2n 2 )n
n
Q := n → –
ω 0 := n →
Une fois définies les deux fonctions de n présentes dans
la fonction de transfert, on écrit l’équation différentielle
associée :
> Eq:=s(t)+1/(omega0(n)*Q(n))*diff(s(t),t)+1/(omega0
(n)^2)*diff(s(t),t$2)=3*e(t);
Eq := s(t)–2RC(– 1+n)
s(t)
+R 2 C 2 n
s(t)
=3e(t)
On assigne à R, C leurs valeurs et on résoud l’équation différentielle :
> R:=1000:C:=1e-6:e:=t→1:
> sol:=dsolve({Eq,s(0)=0,D(s)(0)=0},{s(t)}):
> assign(sol):
> n:=1:plot(s(t),t=0..0.05,thickness=1,color=blue);
n est égal à1,lerégime est quasisinusoïdal:eneffet le
termeene st nul et l’équation différentielle est celle
d’un oscillateur harmonique non amorti.
> n:=0.45:plot(s(t),t=0..0.01,thickness=1,color=blue);
1
2
d(s)
dt
t
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
6
5
4
3
2
1
0
∂ 2
∂ t 2
∂
∂ t
1
RC1n
1n
–1+n
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
408
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.