Pour étudier l’action d’un filtre sur u s ,i lfaut le décomposer
en fonctions sinusoïdales :
u s (t)=
cos (2w p t + j)+
cos (j)
+c os [(2w p + w a )t + j]+
cos [w a t – j]
+c os [(2w p – w a )t + j]+
cos [w a t + j]
Avec un filtrep asse-bas dont la fréquence de coupure est
supérieure à f a et très inférieure à f p on ne garde que le
terme constant et les deux termes de pulsation w a .
Par exemple, avec un passe-bas d’ordre1d ef réquence de
coupureégale à20kHz, on obtient àlasortie de ce filtre :
u s (t) ≈
cos (j)+
cos [w a t – j]
+c os [w a t + j].
Soit :
u s (t) ≈
cos (j)[1+aU a cos (w a t)] .
On élimine enfin la composantec onstante avec un filtre
passe-haut de très faible fréquence de coupure (quelques
hertz). Àlasortie de ce filtre, on obtient finalement:
u s (t)≈
cos (j) a U a cos (w a t).
On retrouve bien un signal de sortie proportionnel au signal
audio, en U a cos (w a t): la démodulation de l’amplitude du
signal radio aété réalisée.
Remarque :Enfait, ce dispositif simple fonctionne mal car il
n’estp as possible d’obtenir directement un signal u d (t)
rigoureusement synchrone de u p (t). La phase j évolue lentement, ce qui fait varier aléatoirement le niveau du signal
issu des filtres (phénomène de fading).
On yr emédie en asservissant la fréquence de u d (t) par une
boucle àverrouillage de phase. Mais ceci est une autrehistoire.
Étude d’un filtregrâce
àunlogiciel de calcul formel
1 • 1. Fonction de transfert ;d iagramme de Bode ;
résonance.
> restart:
Entrons et résolvons le système d’équations algébriques
complexes :
> Eq1:=s/3-v=0:
> Eq2:=va-v*(1+I*R*C*omega)=0:
> Eq3:=–va*(2+n*I*R*C*omega)+e+v+n*I*R*C*omega
*s=0:
> Eq:={Eq1,Eq2,Eq3}:
> sol:=solve(Eq,{v, va,e}):
> assign(sol);
k aUU a
4
kaUU a
4
kaUU a
4
kaUU a
4
kaUU a
4
13
kU
2
kU
2
kU
2
k aUU a
4
kU
2
kU
2
Les solutions sont maintenant explicitées et utilisables
directement par leur assignation ;onpeut calculer la fonction de transfert:
>H1:=simplify(s/e):
Faisons apparaître la variable réduite x :
> H:=subs(omega=x/(sqrt(n)*R*C),H1);
H := –
match(H=H0/(1+(I/Q)*x-x^2),x,’S’);S;
true
Q =–
,H 0 =3
On reconnait la fonction de transfert d’un passe-bas
d’ordre 2. Le facteur de qualité peut être d’une part positif
ou négatif suivant que n est plus grand ou plus petit que 1
et d’autre part supérieur ou inférieur àe tdonc présenter
ou non une résonance. C’est ce dernier point que nous
allons étudier d’abord en considérant n 1, donc Q
positif.
2. Diagramme de Bode :
> GdB:=20*log10(abs(H)):
> graph:=seq(subs(n=0.225*i,x=10^y,GdB),i=1..4):
> plot({graph},y=-1..0.5,-15..25,color=blue);
Les courbes présentent une résonance pour n =0.675 et
n =0.9 (ce qui correspond bien àdes valeurs de Q supérieures à0.707, voir ci-dessous).Attention les courbes cidessus sont toutes tracées en fonction de x,mais il ne faut
pas oublier,s’il l’on rétablit la pulsation, que w 0 est fonction de n.
3. Détermination de la pulsation de résonance :
> restart:assume(x>0);assume(n>0);
> H:=(x,n)->abs(3/(1+(I/(-1/2*n^(1/2)/(-1+n)))*x-x^2)):
Après avoir redéfini la fonction de transfert on cherche à
quelle condition il existe un maximum en x (donc en fréquence) de cette fonction :
1
12
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2
20
10
–10
0
0,2
0,4
1
2
1n
n –1
3
–1–2
1
Ix
n
+2I1nx + x 2
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
407
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
en fonctions sinusoïdales :
u s (t)=
cos (2w p t + j)+
cos (j)
+c os [(2w p + w a )t + j]+
cos [w a t – j]
+c os [(2w p – w a )t + j]+
cos [w a t + j]
Avec un filtrep asse-bas dont la fréquence de coupure est
supérieure à f a et très inférieure à f p on ne garde que le
terme constant et les deux termes de pulsation w a .
Par exemple, avec un passe-bas d’ordre1d ef réquence de
coupureégale à20kHz, on obtient àlasortie de ce filtre :
u s (t) ≈
cos (j)+
cos [w a t – j]
+c os [w a t + j].
Soit :
u s (t) ≈
cos (j)[1+aU a cos (w a t)] .
On élimine enfin la composantec onstante avec un filtre
passe-haut de très faible fréquence de coupure (quelques
hertz). Àlasortie de ce filtre, on obtient finalement:
u s (t)≈
cos (j) a U a cos (w a t).
On retrouve bien un signal de sortie proportionnel au signal
audio, en U a cos (w a t): la démodulation de l’amplitude du
signal radio aété réalisée.
Remarque :Enfait, ce dispositif simple fonctionne mal car il
n’estp as possible d’obtenir directement un signal u d (t)
rigoureusement synchrone de u p (t). La phase j évolue lentement, ce qui fait varier aléatoirement le niveau du signal
issu des filtres (phénomène de fading).
On yr emédie en asservissant la fréquence de u d (t) par une
boucle àverrouillage de phase. Mais ceci est une autrehistoire.
Étude d’un filtregrâce
àunlogiciel de calcul formel
1 • 1. Fonction de transfert ;d iagramme de Bode ;
résonance.
> restart:
Entrons et résolvons le système d’équations algébriques
complexes :
> Eq1:=s/3-v=0:
> Eq2:=va-v*(1+I*R*C*omega)=0:
> Eq3:=–va*(2+n*I*R*C*omega)+e+v+n*I*R*C*omega
*s=0:
> Eq:={Eq1,Eq2,Eq3}:
> sol:=solve(Eq,{v, va,e}):
> assign(sol);
k aUU a
4
kaUU a
4
kaUU a
4
kaUU a
4
kaUU a
4
13
kU
2
kU
2
kU
2
k aUU a
4
kU
2
kU
2
Les solutions sont maintenant explicitées et utilisables
directement par leur assignation ;onpeut calculer la fonction de transfert:
>H1:=simplify(s/e):
Faisons apparaître la variable réduite x :
> H:=subs(omega=x/(sqrt(n)*R*C),H1);
H := –
match(H=H0/(1+(I/Q)*x-x^2),x,’S’);S;
true
Q =–
,H 0 =3
On reconnait la fonction de transfert d’un passe-bas
d’ordre 2. Le facteur de qualité peut être d’une part positif
ou négatif suivant que n est plus grand ou plus petit que 1
et d’autre part supérieur ou inférieur àe tdonc présenter
ou non une résonance. C’est ce dernier point que nous
allons étudier d’abord en considérant n 1, donc Q
positif.
2. Diagramme de Bode :
> GdB:=20*log10(abs(H)):
> graph:=seq(subs(n=0.225*i,x=10^y,GdB),i=1..4):
> plot({graph},y=-1..0.5,-15..25,color=blue);
Les courbes présentent une résonance pour n =0.675 et
n =0.9 (ce qui correspond bien àdes valeurs de Q supérieures à0.707, voir ci-dessous).Attention les courbes cidessus sont toutes tracées en fonction de x,mais il ne faut
pas oublier,s’il l’on rétablit la pulsation, que w 0 est fonction de n.
3. Détermination de la pulsation de résonance :
> restart:assume(x>0);assume(n>0);
> H:=(x,n)->abs(3/(1+(I/(-1/2*n^(1/2)/(-1+n)))*x-x^2)):
Après avoir redéfini la fonction de transfert on cherche à
quelle condition il existe un maximum en x (donc en fréquence) de cette fonction :
1
12
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2
20
10
–10
0
0,2
0,4
1
2
1n
n –1
3
–1–2
1
Ix
n
+2I1nx + x 2
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
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La photocopie non autorisée est un délit.