Donc, avec u + =0:
H(jw)=–
≈–
.
Ceci correspond àu nf iltre passe-bande de deuxième ordre
dont les éléments caractéristiques sont le gain maximal, la
fréquence de résonance et le coefficient de qualité.
La pulsation de résonance est donnée par :
1–
w
2
r =0,
soit w r =
4
, f r =
4
et Q = 92π f 0 RC.
A.N. :f r =12,6 kHz et Q =25.
Le gain maximal est obtenuàlafréquence de résonance :
G max =20log (2πRCf 0 ) ≈ 76 dB.
Ce montage présente une résonance aiguë àenviron 13 kHz.
Ceci explique la réponse du montage àunsignal triangulaire.
Il yaeneffet une trop grande amplification des harmoniques
de fréquence voisine de 13 kHz.
Cette réponse peut être aussi interprétée àl ’aided ur égime
transitoirepseudo-périodiqueamorti du filtre résonnant :
Pour un filtre résonnant, le temps caractéristiqued ed écroissance est lié àlafréquence de résonance et au facteurdequalité par t ==
Le coefficient de qualité du filtre est
de 25, la fréquence de résonance de 13 kHz. Le temps caractéristique est de 0,6 ms, non négligeable devant la période du
signal :lerégime transitoireest bien visible.
2 • On remplace le condensateur C par R en série avec C.
Il suffit donc de remplacer
par :
1
jCw
Diagramme de Bode du montage dérivateur.
0
20
10 10
2
G dB
transfert de
l'A.O.réel
pente de 20 dB
par décade
pente de
–20dB
par décade
f r =13kHz
transfert du
filtre réel
transfert du
filtre à
A.O.idéal
10
3
10
4
10
5
10
6
–20
–40
40
60
2Q
w 0
Q
πf 0
f 0
2πRC
2π f 0
RC
RC
2π f 0
jRCw
1+
2
j
π
w
f 0
–
R
2
C
π
w
f 0
2
jRCw
1+
m
1
0
+
R
m
C
0
+
2π
1
f 0
jw– R
2
C
π
w
f 0
2
R+=
,dans l’expressiondela
fonction de transfert du montage :
H(jw)=
–
.
Cette expression se simplifie si R R , m 0 1e t
f 0
:
H ( j w ) ≈ –
.
La fréquence de résonance du filtre n’est pas modifiée. Son
facteur de qualité est :
Q =
4
.
Q =d onne R =
2 4
–
≈ 250 Ω .
Dans ce cas, le régime transitoire est réduit au maximum, le
temps caractéristique est de l’ordred e
≈10 µs, négligeable pour un signal de fréquence 100 Hz. Le signal de sortie est alors pratiquementladérivée du signal d’entrée,soit un
signal créneau.
En effet le fondamental et les premiers harmoniques ont une
fréquence inférieure à1k Hz, faible devant 13 kHz. Donc
toutes les composantes «i mportantes »d us ignal d’entrée
sont dans l’asymptote basse fréquence du filtre où
H(jw) ≈ – jRCw ,cequi correspond àune dérivation de toutes les composantes.
Oscillateur quasi sinusoïdal
de Colpitts
1 • Entre le nœud A 1 et la masse se trouve une impédance
Z résultant de la mise en parallèledel’inductance L et de la
capacité C =+ ,d onc =+ jCw.L a
résistance R et l’impédance Z forment un diviseur de tension :
==
=
.
u 1m
u em
Z
R + Z
1
1+
R
Z
1
1+R jL
1
w
+ jCw
1
C
1
C 1
1
C 2
1
Z
1
jLw
11
1
w 0
RC
2π f 0
1
2π f 0
1
2
1
C
1
RC +
2π
1
f 0
RC
2π f 0
jRCw
1+ RC+ 2π
1
f 0
jw–
R
2
C
π
w
f 0
2
RC
m 0
jRCw
1+
m
1
0
+
(R +
m
R
0
)C
+ RC +
2π
1
f 0
jw –
(R +
2
R
π
f
)
0
Cw 2
1
jCw
1+jRCw
jCw
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
404
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
H(jw)=–
≈–
.
Ceci correspond àu nf iltre passe-bande de deuxième ordre
dont les éléments caractéristiques sont le gain maximal, la
fréquence de résonance et le coefficient de qualité.
La pulsation de résonance est donnée par :
1–
w
2
r =0,
soit w r =
4
, f r =
4
et Q = 92π f 0 RC.
A.N. :f r =12,6 kHz et Q =25.
Le gain maximal est obtenuàlafréquence de résonance :
G max =20log (2πRCf 0 ) ≈ 76 dB.
Ce montage présente une résonance aiguë àenviron 13 kHz.
Ceci explique la réponse du montage àunsignal triangulaire.
Il yaeneffet une trop grande amplification des harmoniques
de fréquence voisine de 13 kHz.
Cette réponse peut être aussi interprétée àl ’aided ur égime
transitoirepseudo-périodiqueamorti du filtre résonnant :
Pour un filtre résonnant, le temps caractéristiqued ed écroissance est lié àlafréquence de résonance et au facteurdequalité par t ==
Le coefficient de qualité du filtre est
de 25, la fréquence de résonance de 13 kHz. Le temps caractéristique est de 0,6 ms, non négligeable devant la période du
signal :lerégime transitoireest bien visible.
2 • On remplace le condensateur C par R en série avec C.
Il suffit donc de remplacer
par :
1
jCw
Diagramme de Bode du montage dérivateur.
0
20
10 10
2
G dB
transfert de
l'A.O.réel
pente de 20 dB
par décade
pente de
–20dB
par décade
f r =13kHz
transfert du
filtre réel
transfert du
filtre à
A.O.idéal
10
3
10
4
10
5
10
6
–20
–40
40
60
2Q
w 0
Q
πf 0
f 0
2πRC
2π f 0
RC
RC
2π f 0
jRCw
1+
2
j
π
w
f 0
–
R
2
C
π
w
f 0
2
jRCw
1+
m
1
0
+
R
m
C
0
+
2π
1
f 0
jw– R
2
C
π
w
f 0
2
R+=
,dans l’expressiondela
fonction de transfert du montage :
H(jw)=
–
.
Cette expression se simplifie si R R , m 0 1e t
f 0
:
H ( j w ) ≈ –
.
La fréquence de résonance du filtre n’est pas modifiée. Son
facteur de qualité est :
Q =
4
.
Q =d onne R =
2 4
–
≈ 250 Ω .
Dans ce cas, le régime transitoire est réduit au maximum, le
temps caractéristique est de l’ordred e
≈10 µs, négligeable pour un signal de fréquence 100 Hz. Le signal de sortie est alors pratiquementladérivée du signal d’entrée,soit un
signal créneau.
En effet le fondamental et les premiers harmoniques ont une
fréquence inférieure à1k Hz, faible devant 13 kHz. Donc
toutes les composantes «i mportantes »d us ignal d’entrée
sont dans l’asymptote basse fréquence du filtre où
H(jw) ≈ – jRCw ,cequi correspond àune dérivation de toutes les composantes.
Oscillateur quasi sinusoïdal
de Colpitts
1 • Entre le nœud A 1 et la masse se trouve une impédance
Z résultant de la mise en parallèledel’inductance L et de la
capacité C =+ ,d onc =+ jCw.L a
résistance R et l’impédance Z forment un diviseur de tension :
==
=
.
u 1m
u em
Z
R + Z
1
1+
R
Z
1
1+R jL
1
w
+ jCw
1
C
1
C 1
1
C 2
1
Z
1
jLw
11
1
w 0
RC
2π f 0
1
2π f 0
1
2
1
C
1
RC +
2π
1
f 0
RC
2π f 0
jRCw
1+ RC+ 2π
1
f 0
jw–
R
2
C
π
w
f 0
2
RC
m 0
jRCw
1+
m
1
0
+
(R +
m
R
0
)C
+ RC +
2π
1
f 0
jw –
(R +
2
R
π
f
)
0
Cw 2
1
jCw
1+jRCw
jCw
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
404
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.