L’amplificateur fonctionne en régime linéaire, c’est-à-dire
v + = v – .D onc :
v e – v e =2v s
(x 2 –1)v e =2(1 – x 2 +3jx)v s
d’où :
H(jx)=
et :
H(x)=
.
Si x → 0, H(x) → .
Si x → , H(x) → .
Si x =1,H(x)=0.
L’allure de H(x)e st donnée par la courbe suivante.
La pulsation w 0 =e st totalement éliminée par le filtre.
On aunfiltre réjecteur de la fréquence f 0 ==
.
Filtre de Butterworth
1
2πRC
R u
C 2
R
B
A
R
C 1
u s
S
u e
1
2
9
w 0
2π
1
RC
x 10
2
x 1
x 10
2
3.5
4.0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
H dB
H dB f (log x)
x 1 H 0
(log H )
1
2
x 2 –1
2(1 – x 2 ) 2 +9x 2
1
2
x 2 –1
2(1 – x 2 +3jx)
3jx
1–x 2 +3jx
1 • On écrit la loi des nœuds en notation complexe aux
nœuds A et B.
•Aunœud A :
++ ( u A – u s ) jC 2 w =0.
•Aunœud B :
+ u B jC 1 w =0.
De plus, le régime étant supposé linéaire, on a:
u B =u – =u s ,
soit
u A (2 + jRC 2 w)=u e +u s (1 + jRC 2 w)
u s (1 + jRC 1 w)=u A
ou encore, en posant x = RC 1 w et k =:
u A (2 + jkx)=u e +u s (1 + jkx)
u s (1 + jx)=u A .
u s (1 + jx)(2 + jkx)–(1+jkx)u s = u e .
H(jx)=
=
.
Le filtre étudié est un passe-bas d’ordre 2.
2 • H(jx) =((1 – kx 2 ) 2 +4x 2 )
– 1
2
.
H(jx) =(1+k 2 x 4 +4x 2 –2kx 2 )
–
1
2
.
Pour obtenir le résultat demandé, il faut annuler le terme en
x 2 ,c equi revient àchoisir k =2,c ’est-à-dire C 2 =2C 1 .
Alors : H(jx) =(1+k 2 x 4 )
– 1
2
=(1+4x 4 )
– 1
2
⇒H(jw)= 1+
– 1
2
et w 0 =.
Au maximum, H(jw) =1 ,c ette valeur étant obtenue pour
w =0.
La pulsation de coupure du montage w c est telle que :
H(jw c ) ==
,
soit :( 1+4R 4 C
4
1 w
4
c )
– 1
2
=.
D’où 4R 4 C
4
1 w
4
c =1 et w c = w 0 .
Un filtre passe-bas de Butterworth est un filtre passe-bas dont
la propriété caractéristique est d’avoir une courbe de réponse
en gain la plus proche possible (pour un ordre donné)deson
asymptote horizontale en basse fréquence.
Dérivateuràamplificateur
opérationnel réel
1 • La loi des nœuds àl’entrée«–»donne :
jCw(v e – v–)+
=0.
v s –v –
R
10
1
12
H max
12
1
12
w 4
w
4
0
1
RC 1 12
u s
u e
1
1–kx 2 +2jx
C 2
C 1
u B – u A
R
u A – u e
R
u A – u B
R
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
403
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
v + = v – .D onc :
v e – v e =2v s
(x 2 –1)v e =2(1 – x 2 +3jx)v s
d’où :
H(jx)=
et :
H(x)=
.
Si x → 0, H(x) → .
Si x → , H(x) → .
Si x =1,H(x)=0.
L’allure de H(x)e st donnée par la courbe suivante.
La pulsation w 0 =e st totalement éliminée par le filtre.
On aunfiltre réjecteur de la fréquence f 0 ==
.
Filtre de Butterworth
1
2πRC
R u
C 2
R
B
A
R
C 1
u s
S
u e
1
2
9
w 0
2π
1
RC
x 10
2
x 1
x 10
2
3.5
4.0
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
H dB
H dB f (log x)
x 1 H 0
(log H )
1
2
x 2 –1
2(1 – x 2 ) 2 +9x 2
1
2
x 2 –1
2(1 – x 2 +3jx)
3jx
1–x 2 +3jx
1 • On écrit la loi des nœuds en notation complexe aux
nœuds A et B.
•Aunœud A :
++ ( u A – u s ) jC 2 w =0.
•Aunœud B :
+ u B jC 1 w =0.
De plus, le régime étant supposé linéaire, on a:
u B =u – =u s ,
soit
u A (2 + jRC 2 w)=u e +u s (1 + jRC 2 w)
u s (1 + jRC 1 w)=u A
ou encore, en posant x = RC 1 w et k =:
u A (2 + jkx)=u e +u s (1 + jkx)
u s (1 + jx)=u A .
u s (1 + jx)(2 + jkx)–(1+jkx)u s = u e .
H(jx)=
=
.
Le filtre étudié est un passe-bas d’ordre 2.
2 • H(jx) =((1 – kx 2 ) 2 +4x 2 )
– 1
2
.
H(jx) =(1+k 2 x 4 +4x 2 –2kx 2 )
–
1
2
.
Pour obtenir le résultat demandé, il faut annuler le terme en
x 2 ,c equi revient àchoisir k =2,c ’est-à-dire C 2 =2C 1 .
Alors : H(jx) =(1+k 2 x 4 )
– 1
2
=(1+4x 4 )
– 1
2
⇒H(jw)= 1+
– 1
2
et w 0 =.
Au maximum, H(jw) =1 ,c ette valeur étant obtenue pour
w =0.
La pulsation de coupure du montage w c est telle que :
H(jw c ) ==
,
soit :( 1+4R 4 C
4
1 w
4
c )
– 1
2
=.
D’où 4R 4 C
4
1 w
4
c =1 et w c = w 0 .
Un filtre passe-bas de Butterworth est un filtre passe-bas dont
la propriété caractéristique est d’avoir une courbe de réponse
en gain la plus proche possible (pour un ordre donné)deson
asymptote horizontale en basse fréquence.
Dérivateuràamplificateur
opérationnel réel
1 • La loi des nœuds àl’entrée«–»donne :
jCw(v e – v–)+
=0.
v s –v –
R
10
1
12
H max
12
1
12
w 4
w
4
0
1
RC 1 12
u s
u e
1
1–kx 2 +2jx
C 2
C 1
u B – u A
R
u A – u e
R
u A – u B
R
CORRIGÉS
Fonctions de transfert
5
403
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.