Doc. 4
b) Les trajectoires fermées correspondent àd es oscillations
autour de la positiond’équilibre stable z = z 2 .Notons que la
plus petite trajectoire correspond pratiquement àu nc ercle :
l’approximation linéaire, donnant des oscillationsh armoniques, est ici satisfaisante.
Pour la trajectoire non bouclée, l’énergie mécanique est suffisante pour passer la bosse d’énergie potentielle en z = z 1 .
Dans un premier temps, z varie de z (0) à z 2 ;l’énergie potentielle diminue et l’énergie cinétique augmente :latrajectoire
s’éloigne de (Oz). Pour z diminuant de z 2 à z 1 ,l ’énergie
potentielle augmente, l’énergie cinétique diminue :l at rajectoire revient vers l’axe (Oz), mais ne le touche pas :lapetite
sphère n’atteint pas l’abscisse z 1 avec une vitesse non nulle.
Au-delà, elle poursuit sa chute en accélérant.
Navireàmoteur (Banque G2E08)
1 • La puissancefournie par le moteur compense exactement
la puissance de la force de frottement lorsque le bateauavance àvitesse constante.
P M – kv 3
0 =0.
Numériquement:
v 0 =15nœuds =7,7 ms –1 .
k =1,09 10 4 Nm –2 s 2 .
2 • Quand le navire stoppe ses machines, il continue sa route
selon la direction de v
➞
0 .
Soit v
➞
0 = v 0 e
➞
x .
En projection sur e
➞
x ,dans le référentiellié au port, le principe fondamental de la dynamique appliqué au bateau s’écrit :
=–kv 2 .
En posant L =, il vient
=–
.
Soit
=e t–
=e ntenant compte
des conditions initiales.
v =
v
v
0
0
L
Lt +
d
d t
1
v
d
d t
t
L
1
v
1
0
v
t
L
m
k
d v
v
2
d t
L
m t
d
d
v
8
1
V / w 0
1234
5
0
–1
–2
–3
–3
– 2– 1
–4
z
z 1
z 2
z (0)
3 • On adonc :=
d x =d t .
Soit x =+Lln (L + v 0 t)+k.
Àt=0,x=–Xdonne k =–Lln L – X.
Donc x(t)=Lln
– X = L ln
– X.
On atteint la passe pour x =0avec v P = v 0 exp
.
Si v P =2nœuds X = L ln
≈ 1850 m ≈ 1mille nautique.
4 • q = L – =773 s.
5 • x Q =+926 m=Lln
– X.
v Q =0,73 nœud =0,37 ms
–1
.
6 • Pour arrêter le bateau en urgence, il faut remettre les
moteurs en marche et faire machine arrière.
Étude d’un looping
(d’après ICNA06)
1 • La bille est en mouvement dans un référentiel galiléen.
En lui appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les
points A et O,ilvient :
E C (O)–E C (A)=W poids + W réaction .
Puisqu’il n’y ap as de frottements, le travail de la réaction,
orthogonale au déplacement, est nul.
W poids = mg(y A – y O )=mgh.
Donc mv 2
0 – mv
2
A = mgh avec v A =0.
v 0 =62gh.
2 • En un point M tel que y M = a(1 –cos q), on obtient :
mv 2
M = mg(y A – y M )=mg(– a + h + a cos q).
v M =[2g(acos q – a + h)] 1/2
3 • Sur le guide circulaire, les forces appliquées à m sont le
poids et la réaction Re
➞
r .
ma
➞
(M)=mg
➞ + Re
➞
r
Soit m(– a
·
q 2 e
➞
r + a
··
q e
➞
q )=mg
➞ + Re
➞
r .
En projection sur e
➞
q ,l’équation donne :
ma
··
q =–mg sin q.
On multiplie par
·
q.
a
··
q
·
q =–gsin q
·
q
a
·
q 2
=( g cos q).
d
dt
1
2
d
dt
1
2
1
2
1
2
9
v 0
v Q
1
v P
1
v 0
v
v
0
P
– X
L
1
0
+
v t
L
v
v
0
() t
d
d
x
t
v
v
0
0
L
Lt +
v
v
0
0
L
Lt +
CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
38
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
b) Les trajectoires fermées correspondent àd es oscillations
autour de la positiond’équilibre stable z = z 2 .Notons que la
plus petite trajectoire correspond pratiquement àu nc ercle :
l’approximation linéaire, donnant des oscillationsh armoniques, est ici satisfaisante.
Pour la trajectoire non bouclée, l’énergie mécanique est suffisante pour passer la bosse d’énergie potentielle en z = z 1 .
Dans un premier temps, z varie de z (0) à z 2 ;l’énergie potentielle diminue et l’énergie cinétique augmente :latrajectoire
s’éloigne de (Oz). Pour z diminuant de z 2 à z 1 ,l ’énergie
potentielle augmente, l’énergie cinétique diminue :l at rajectoire revient vers l’axe (Oz), mais ne le touche pas :lapetite
sphère n’atteint pas l’abscisse z 1 avec une vitesse non nulle.
Au-delà, elle poursuit sa chute en accélérant.
Navireàmoteur (Banque G2E08)
1 • La puissancefournie par le moteur compense exactement
la puissance de la force de frottement lorsque le bateauavance àvitesse constante.
P M – kv 3
0 =0.
Numériquement:
v 0 =15nœuds =7,7 ms –1 .
k =1,09 10 4 Nm –2 s 2 .
2 • Quand le navire stoppe ses machines, il continue sa route
selon la direction de v
➞
0 .
Soit v
➞
0 = v 0 e
➞
x .
En projection sur e
➞
x ,dans le référentiellié au port, le principe fondamental de la dynamique appliqué au bateau s’écrit :
=–kv 2 .
En posant L =, il vient
=–
.
Soit
=e t–
=e ntenant compte
des conditions initiales.
v =
v
v
0
0
L
Lt +
d
d t
1
v
d
d t
t
L
1
v
1
0
v
t
L
m
k
d v
v
2
d t
L
m t
d
d
v
8
1
V / w 0
1234
5
0
–1
–2
–3
–3
– 2– 1
–4
z
z 1
z 2
z (0)
3 • On adonc :=
d x =d t .
Soit x =+Lln (L + v 0 t)+k.
Àt=0,x=–Xdonne k =–Lln L – X.
Donc x(t)=Lln
– X = L ln
– X.
On atteint la passe pour x =0avec v P = v 0 exp
.
Si v P =2nœuds X = L ln
≈ 1850 m ≈ 1mille nautique.
4 • q = L – =773 s.
5 • x Q =+926 m=Lln
– X.
v Q =0,73 nœud =0,37 ms
–1
.
6 • Pour arrêter le bateau en urgence, il faut remettre les
moteurs en marche et faire machine arrière.
Étude d’un looping
(d’après ICNA06)
1 • La bille est en mouvement dans un référentiel galiléen.
En lui appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les
points A et O,ilvient :
E C (O)–E C (A)=W poids + W réaction .
Puisqu’il n’y ap as de frottements, le travail de la réaction,
orthogonale au déplacement, est nul.
W poids = mg(y A – y O )=mgh.
Donc mv 2
0 – mv
2
A = mgh avec v A =0.
v 0 =62gh.
2 • En un point M tel que y M = a(1 –cos q), on obtient :
mv 2
M = mg(y A – y M )=mg(– a + h + a cos q).
v M =[2g(acos q – a + h)] 1/2
3 • Sur le guide circulaire, les forces appliquées à m sont le
poids et la réaction Re
➞
r .
ma
➞
(M)=mg
➞ + Re
➞
r
Soit m(– a
·
q 2 e
➞
r + a
··
q e
➞
q )=mg
➞ + Re
➞
r .
En projection sur e
➞
q ,l’équation donne :
ma
··
q =–mg sin q.
On multiplie par
·
q.
a
··
q
·
q =–gsin q
·
q
a
·
q 2
=( g cos q).
d
dt
1
2
d
dt
1
2
1
2
1
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v 0
v Q
1
v P
1
v 0
v
v
0
P
– X
L
1
0
+
v t
L
v
v
0
() t
d
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x
t
v
v
0
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L
Lt +
v
v
0
0
L
Lt +
CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.