b) L’équilibre peut être réalisé si la force F(z)p eut être
compensée par l’effet du poids. On voit que la condition
mg = aq
peut être réalisée pour deux positions
d’équilibre z 1 et z 2 ,àcondition que la masse m soit inférieure
à m max =.
La valeur maximale de F(z)est obtenue pour z =.
La condition d’existence des deux équilibres est donc :
m m max =.
2 • Équilibre
a) L’énergie potentielle E p,él (z)a ssociéea ux efforts électrostatiques est donnée par :
=–F(z)=–aq
,
soit :
E p,él (z)=+aq
+cte,
en prenant la constante de façon àa voir E p,él (0) =0 ,o n
obtient les variations suivantes (doc. 2), où on observe naturellement l’effet répulsif du cerceau sur la petite sphère (les
deux portent des charges de même signe) :laforce électrique
est orientée dans le sens décroissant de l’énergie potentielle,
et tend àéloigner la sphère du point O.
En ajoutant l’énergie potentielle de pesanteur,l ’origine de
l’énergie potentielle étant prise en z =0,ilvient :
E P (z)=aq
+ mgz –.
1
R 2 + z 2
1
2
αq
R
Doc. 2
–0,8
–0,6
–0,4
–0,2
–6
– 4– 22 E p,él (z)
46 z
0
1
R 2 + z 2
1
2
dE p,él
dz
z
R 2 + z 2
3
2
2aq
3
3
2
gR 2
R
12
[F(z)] max
g
z
R 2 + z 2
3
2
On retrouve les positions d’équilibre z 1 et z 2 rendant l’énergie
potentiellestationnaire :
–enz 1 l’énergie potentielle passe par un maximum (local) :
l’équilibre est instable,
–enz 2 l’énergie potentielle passe par un minimum (local) :
l’équilibre est stable.
b) Au voisinage de z e = z 2 ,notons z = z 2 + e et tentons une
linéarisation de l’équation du mouvement :
m
= F(z e + e)–mg =[F(z e )–mg]+e z 2 +…
où le terme d’ordre 0est nul par définition de l’équilibre. On
obtient une équation d’oscillateur harmonique :
=–w
2
0 e,
où la pulsation est :
w 0 =
5 z e = z 2
=
5
.
3 • a) Pour les trajectoires de phases fermées, qui correspondent àd es mouvements périodiques, les conditions initiales
sont sans importance. Pour la trajectoire non fermée, qui part
sur l’axe (Oz)dup lan de phase, la petite sphère aété lâchée
sans vitesse initiale.
Le sens d’évolution s’obtient sachant que z augmente lorsque
le point de phase est au-dessous de (Oz)c ar la vitesse est
négative, et que z diminues il ep oint est au-dessus de (Oz)
(doc. 4).
–1
m
dF
dz
α qz R
mz R
(– )
()
2
2
2
5
2
e
2
e
2 +
d 2 e ( )
d t 2
d
2
z ( t )
d t 2
d F
d z
Doc. 3
O
–2
– 11
0,2
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
2
z 1
E p (z)
z 2
345
CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
37
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
compensée par l’effet du poids. On voit que la condition
mg = aq
peut être réalisée pour deux positions
d’équilibre z 1 et z 2 ,àcondition que la masse m soit inférieure
à m max =.
La valeur maximale de F(z)est obtenue pour z =.
La condition d’existence des deux équilibres est donc :
m m max =.
2 • Équilibre
a) L’énergie potentielle E p,él (z)a ssociéea ux efforts électrostatiques est donnée par :
=–F(z)=–aq
,
soit :
E p,él (z)=+aq
+cte,
en prenant la constante de façon àa voir E p,él (0) =0 ,o n
obtient les variations suivantes (doc. 2), où on observe naturellement l’effet répulsif du cerceau sur la petite sphère (les
deux portent des charges de même signe) :laforce électrique
est orientée dans le sens décroissant de l’énergie potentielle,
et tend àéloigner la sphère du point O.
En ajoutant l’énergie potentielle de pesanteur,l ’origine de
l’énergie potentielle étant prise en z =0,ilvient :
E P (z)=aq
+ mgz –.
1
R 2 + z 2
1
2
αq
R
Doc. 2
–0,8
–0,6
–0,4
–0,2
–6
– 4– 22 E p,él (z)
46 z
0
1
R 2 + z 2
1
2
dE p,él
dz
z
R 2 + z 2
3
2
2aq
3
3
2
gR 2
R
12
[F(z)] max
g
z
R 2 + z 2
3
2
On retrouve les positions d’équilibre z 1 et z 2 rendant l’énergie
potentiellestationnaire :
–enz 1 l’énergie potentielle passe par un maximum (local) :
l’équilibre est instable,
–enz 2 l’énergie potentielle passe par un minimum (local) :
l’équilibre est stable.
b) Au voisinage de z e = z 2 ,notons z = z 2 + e et tentons une
linéarisation de l’équation du mouvement :
m
= F(z e + e)–mg =[F(z e )–mg]+e z 2 +…
où le terme d’ordre 0est nul par définition de l’équilibre. On
obtient une équation d’oscillateur harmonique :
=–w
2
0 e,
où la pulsation est :
w 0 =
5 z e = z 2
=
5
.
3 • a) Pour les trajectoires de phases fermées, qui correspondent àd es mouvements périodiques, les conditions initiales
sont sans importance. Pour la trajectoire non fermée, qui part
sur l’axe (Oz)dup lan de phase, la petite sphère aété lâchée
sans vitesse initiale.
Le sens d’évolution s’obtient sachant que z augmente lorsque
le point de phase est au-dessous de (Oz)c ar la vitesse est
négative, et que z diminues il ep oint est au-dessus de (Oz)
(doc. 4).
–1
m
dF
dz
α qz R
mz R
(– )
()
2
2
2
5
2
e
2
e
2 +
d 2 e ( )
d t 2
d
2
z ( t )
d t 2
d F
d z
Doc. 3
O
–2
– 11
0,2
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
2
z 1
E p (z)
z 2
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CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.