les forces étant :
P
➞
= mg cosq e
➞
r – mg sinq e
➞
q et N
➞ = Ne
➞
r
(la gouttière jouant le rôle de glissière, N est de signe
quelconque). En projection sur e
➞
r ,e nu tilisant v = R
·
q et
y =–Rcosq ,onobtient :
N =– mg cosq + m = mg
.
Avec la convention choisie pour N ,ilest négatif au début
du mouvement,p uis change de signe en y = y 0 ,e tr este
positif tant que y y 0 ,cequi n’a pas d’influence ici sur le
mouvement de la perle car la gouttière assure toujours la liaison
(liaison bilatérale).
d) Avec v 0 =24gR le théorème de l’énergie cinétique devient
v 2 =2g(R–y).Enfonctionde q,onobtient :
(R
·
q ) 2 =2gR(1 +cos q )=4gR cos 2
,
soit :
= ±2
Quand q augmente de 0àπ:
cos 0e t 0d onc, dans cette phase du mouvement :
soit
Pour avoir q(t),ilsuffit d’inverser cette expression :
q =4arctan
.Lavaleur maximale de q est
π ,letemps mis pour l’atteindre est infini.
0510
15
20
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
θ
t
exp
g
R
t
− π
t
R
g
=
θ
0
d
R
g
θ
θ
θπ
2
2
44
=+
cos
ln tan.
d t
R
g
d
=
θ
θ
2
2
cos
,
q
2
dq
dt
dq
dt
g
R
cos.
θ
2
s
θ
2
2
3
2
3
v
2
R
3 y –2y 0
R
2 • a) N s’annule pour y 1 = y 0 =– R .C ep oint
appartient àl ag outtière si, et seulement si, y 1 ∈ [– R ; R],
soit v 0
2 5gR . Si y 0 <0,lavitesse s’annule avant la réaction, si y 0 >0,c’est la réaction qui s’annule en premier.Pour
que la balle effectue le tour complet, il faut que v 0
2 > 65gR .
Conclusion
• Si v 0 62gR,lepoint P monte jusqu’en y 0 0,redescend tout en restant en contact avec la gouttièreetrevient vers
son point de départ.
• Si 62gR v 0 65gR,l epoint P quitte le contacte nu n
point d’altitude 0 y 1 R et tombe.
• Si v 0 65gR,lepoint P fait le tour complet.
b) N s’annule en y 1 = R. En reprenant le calcul de la question 1) d),onobtient l’instant t 1 où cela se produit :
t 1 =
, où cos q 1 =–
=–
on trouve t 1 =1,54
.
Mouvementd’une particule
chargée sur un axe
1 • Force subie
a) Sachant que F
➞ (z)=aqE axe (z)e
➞
z ,ona:
F(z)=aq
dont les variations sont représentées ci-après(doc. 1).
Doc. 1
–6
– 4– 2
246
0
–0,2
0,2
0,4
F(z)
mg
z 2
z 1
–0,4
z
(R 2 + z 2 )
3
2
7
R
g
R
g
ln tan
θ π
1
44
+
y 1
R
2
3
2
3
2
3
1
3
v 0
2
g
2
3
CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
36
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
P
➞
= mg cosq e
➞
r – mg sinq e
➞
q et N
➞ = Ne
➞
r
(la gouttière jouant le rôle de glissière, N est de signe
quelconque). En projection sur e
➞
r ,e nu tilisant v = R
·
q et
y =–Rcosq ,onobtient :
N =– mg cosq + m = mg
.
Avec la convention choisie pour N ,ilest négatif au début
du mouvement,p uis change de signe en y = y 0 ,e tr este
positif tant que y y 0 ,cequi n’a pas d’influence ici sur le
mouvement de la perle car la gouttière assure toujours la liaison
(liaison bilatérale).
d) Avec v 0 =24gR le théorème de l’énergie cinétique devient
v 2 =2g(R–y).Enfonctionde q,onobtient :
(R
·
q ) 2 =2gR(1 +cos q )=4gR cos 2
,
soit :
= ±2
Quand q augmente de 0àπ:
cos 0e t 0d onc, dans cette phase du mouvement :
soit
Pour avoir q(t),ilsuffit d’inverser cette expression :
q =4arctan
.Lavaleur maximale de q est
π ,letemps mis pour l’atteindre est infini.
0510
15
20
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
θ
t
exp
g
R
t
− π
t
R
g
=
θ
0
d
R
g
θ
θ
θπ
2
2
44
=+
cos
ln tan.
d t
R
g
d
=
θ
θ
2
2
cos
,
q
2
dq
dt
dq
dt
g
R
cos.
θ
2
s
θ
2
2
3
2
3
v
2
R
3 y –2y 0
R
2 • a) N s’annule pour y 1 = y 0 =– R .C ep oint
appartient àl ag outtière si, et seulement si, y 1 ∈ [– R ; R],
soit v 0
2 5gR . Si y 0 <0,lavitesse s’annule avant la réaction, si y 0 >0,c’est la réaction qui s’annule en premier.Pour
que la balle effectue le tour complet, il faut que v 0
2 > 65gR .
Conclusion
• Si v 0 62gR,lepoint P monte jusqu’en y 0 0,redescend tout en restant en contact avec la gouttièreetrevient vers
son point de départ.
• Si 62gR v 0 65gR,l epoint P quitte le contacte nu n
point d’altitude 0 y 1 R et tombe.
• Si v 0 65gR,lepoint P fait le tour complet.
b) N s’annule en y 1 = R. En reprenant le calcul de la question 1) d),onobtient l’instant t 1 où cela se produit :
t 1 =
, où cos q 1 =–
=–
on trouve t 1 =1,54
.
Mouvementd’une particule
chargée sur un axe
1 • Force subie
a) Sachant que F
➞ (z)=aqE axe (z)e
➞
z ,ona:
F(z)=aq
dont les variations sont représentées ci-après(doc. 1).
Doc. 1
–6
– 4– 2
246
0
–0,2
0,2
0,4
F(z)
mg
z 2
z 1
–0,4
z
(R 2 + z 2 )
3
2
7
R
g
R
g
ln tan
θ π
1
44
+
y 1
R
2
3
2
3
2
3
1
3
v 0
2
g
2
3
CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
36
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.