réduite. C’est pourtant ce qui est utilisé dans le cas d’une
excursion en via ferrata,m ais le dispositif d’assurance utilisé est alors tout particulièrement conçu pour ce genre d’expédition :lafixation au harnais est un amortisseur.
A.N. : f =5, L=1m et F max =13,7 kN .
b) Pour ce nouveau modèle, l’équation du mouvement est :
m¨ x =–F+P
où le second membre est constant, soit :
m
.
x 2 +(F–P)x= mv 0
2 .
Il vient alors :
x max == L
.
A.N. : L =10m et f =1:x max =1m;
L=1m et f =5:x max =0,5 m.
c) Le facteur de chute est :
f =
.
Pour F =12kNe ta=5.10 –6 N –1 ,ona f max =0,39 .
Anneau en mouvement
sur une hélice
Lors du mouvement de l’anneau, seul son poids travaille.
On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre
l’altitude H et l’altitude z.
mv 2 = mg(H – z)
Sur l’hélice O OM = au
➞
r + z u
➞
z
v
➞ = a
·
qu
➞
q + z · u
➞
z = a
·
qu
➞
q + h
·
qu
➞
z
v
➞ 2 =(a 2 +h 2 )
·
q 2
Soit m(a 2 + h 2 )
·
q 2 = mgh (2π – q)
L’anneau part de q =2πet arrive en q =0,donc
0.
Soit
=–
92π–q
=–
dt.
L’anneau atteint le sol pour t = T avec
=–
T.
T=2
π() ah
gh
22
+
2
22
gh
ah +
d θ
πθ
π
2
0
2
–
∫
2
22
gh
ah +
d θ
πθ
2–
d
d
θ
t
1
2
2
22
gh
ah +
d
d
θ
t
1
2
4
a F max (F max –2P)
2P
mv 0
2
2(F – P)
f
F
P
–1
1
2
1
2
Mouvementdetrois électrons
Au cours du temps, les électrons restent positionnés sur un triangle équilatéral dont le centre de gravité O est immobile.
Posons OA = x. OA = AH = AB sin =
AB.
L’électrone nAest soumis àd eux forces :
➞
F BA de la part de
l’électron en B et
➞
F CA de la part de l’électron en C de même
norme.
➞
F BA +
➞
F CA =2
cos
u
➞
x =
u
➞
x .
Cette force globale dérive de l’énergie potentielle E p (x)avec :
E p (x)=
.
Au cours de son mouvement, l’électron au ne énergie mécanique constante.
E M =
mv 2 + E p (x)=
avec x 0 =.
Soit mv 2 =
–
.
La vitesse limite atteinte correspond à x infini.
v lim =
.
Mouvementd’unpoint
sur un cercle,liaison bilatérale,
puis unilatérale
1 • a) Le théorème de l’énergie cinétique appliqué entre le
point de départ (point le plus bas du cercle) et un
point quelconque s’écrit m – m =–mg(y + R).
b) La perle fait le tour complet de la gouttière si v 2 >0pour
tout y ∈ [– R ; R]d onc si v 0 24gR.
Dans le cas contraire, la vitesse s’annule en y 0 =
– R,
et la perle oscille entre les deux points symétriques d’altitude y 0 .
c) La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞
= P
➞ + N
➞ avec a
➞
=–R
·
q 2 e
➞
r +R ¨
qe
➞
q ,
e
2
0
43 πε x
1
2
v
2
0
2
v 2
2
v 2
0
2
6
e
2 0
πε ma
1
2
e
2
0
4πε a
e
2
0
43 πε x
1
2
e
2
0
43 πε x 0
a
3
e
2
0
2
4πε AB
π
6
e
2
0
2
43 πε x
2
3
2
3
π
3
1
3
B
H
O
A
C
x
y F CA
y
F BA
5
CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
35
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
excursion en via ferrata,m ais le dispositif d’assurance utilisé est alors tout particulièrement conçu pour ce genre d’expédition :lafixation au harnais est un amortisseur.
A.N. : f =5, L=1m et F max =13,7 kN .
b) Pour ce nouveau modèle, l’équation du mouvement est :
m¨ x =–F+P
où le second membre est constant, soit :
m
.
x 2 +(F–P)x= mv 0
2 .
Il vient alors :
x max == L
.
A.N. : L =10m et f =1:x max =1m;
L=1m et f =5:x max =0,5 m.
c) Le facteur de chute est :
f =
.
Pour F =12kNe ta=5.10 –6 N –1 ,ona f max =0,39 .
Anneau en mouvement
sur une hélice
Lors du mouvement de l’anneau, seul son poids travaille.
On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre
l’altitude H et l’altitude z.
mv 2 = mg(H – z)
Sur l’hélice O OM = au
➞
r + z u
➞
z
v
➞ = a
·
qu
➞
q + z · u
➞
z = a
·
qu
➞
q + h
·
qu
➞
z
v
➞ 2 =(a 2 +h 2 )
·
q 2
Soit m(a 2 + h 2 )
·
q 2 = mgh (2π – q)
L’anneau part de q =2πet arrive en q =0,donc
0.
Soit
=–
92π–q
=–
dt.
L’anneau atteint le sol pour t = T avec
=–
T.
T=2
π() ah
gh
22
+
2
22
gh
ah +
d θ
πθ
π
2
0
2
–
∫
2
22
gh
ah +
d θ
πθ
2–
d
d
θ
t
1
2
2
22
gh
ah +
d
d
θ
t
1
2
4
a F max (F max –2P)
2P
mv 0
2
2(F – P)
f
F
P
–1
1
2
1
2
Mouvementdetrois électrons
Au cours du temps, les électrons restent positionnés sur un triangle équilatéral dont le centre de gravité O est immobile.
Posons OA = x. OA = AH = AB sin =
AB.
L’électrone nAest soumis àd eux forces :
➞
F BA de la part de
l’électron en B et
➞
F CA de la part de l’électron en C de même
norme.
➞
F BA +
➞
F CA =2
cos
u
➞
x =
u
➞
x .
Cette force globale dérive de l’énergie potentielle E p (x)avec :
E p (x)=
.
Au cours de son mouvement, l’électron au ne énergie mécanique constante.
E M =
mv 2 + E p (x)=
avec x 0 =.
Soit mv 2 =
–
.
La vitesse limite atteinte correspond à x infini.
v lim =
.
Mouvementd’unpoint
sur un cercle,liaison bilatérale,
puis unilatérale
1 • a) Le théorème de l’énergie cinétique appliqué entre le
point de départ (point le plus bas du cercle) et un
point quelconque s’écrit m – m =–mg(y + R).
b) La perle fait le tour complet de la gouttière si v 2 >0pour
tout y ∈ [– R ; R]d onc si v 0 24gR.
Dans le cas contraire, la vitesse s’annule en y 0 =
– R,
et la perle oscille entre les deux points symétriques d’altitude y 0 .
c) La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞
= P
➞ + N
➞ avec a
➞
=–R
·
q 2 e
➞
r +R ¨
qe
➞
q ,
e
2
0
43 πε x
1
2
v
2
0
2
v 2
2
v 2
0
2
6
e
2 0
πε ma
1
2
e
2
0
4πε a
e
2
0
43 πε x
1
2
e
2
0
43 πε x 0
a
3
e
2
0
2
4πε AB
π
6
e
2
0
2
43 πε x
2
3
2
3
π
3
1
3
B
H
O
A
C
x
y F CA
y
F BA
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CORRIGÉS
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
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La photocopie non autorisée est un délit.