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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Étude de la chuted’unalpiniste
1 • Notant x l’allongement du ressort, l’équation du mouvement est :
mx ·· =–kx + mg
dont l’intégrale première est, compte tenu des conditions
initiales:
mx ·2 – mgx + kx 2 = mv 0
2 .
L’élongation maximale du ressort est la solution supérieure à:
x eq =d el’équation du second degré:
kx 2 –2mgx – mv 0
2 =0.
Soit :
x max =
1+ 8
1+
2
.
La force maximale vaut alors :
F max = mg 1+ 8
1+
2
.
2 • La hauteur de chute libre h qui donne une vitesse v 0 àla
limite de tension de la corde est h =.
Le facteur de chute du cas étudié est donc f =, ce qui
permet d’écrire la force maximale sous la forme :
F max = P 1+ 5
1+
.
Ce résultat ne dépend que du facteur de chute, pas de h :pour
une corde deux fois plus longue et une hauteur de chute deux
fois plus grande, la force maximale est inchangée (le contact
avec la paroi risque tout de même d’être un peu plus sévère !).
Le cas le plus défavorablec orrespond à L minimum, pour
une hauteur de chute h donnée, soit f =2 ,c as du doc.2de
l’énoncé.
3 • a) i. L’élasticité de la corde est :
a =
, mesurée en N –1 .
Pour F max =9kN, P =800 N, f =2,ilfaut que l’élasticité
de la corde soit a =4,8 . 10 –5 N –1 .
ii. Pour L =10m et f =1,l’élongation maximale est :
x max = aLP 1+ 5
1+
=3,2 m
et la force maximale vaut F max =6,6 kN.
iii. Ce cas apparaît catastrophique :l ah auteur de chute est
importante alors que la partie extensible de la corde est très
3
2f
aP
2fP
F max (F max –2P)
2f
aP
v 0
2
2gL
v 0
2
2g
k
m
v 0
g
mg
k
k
m
v 0
g
mg
k
1
2
1
2
1
2
Corrigés
Distanceminimale de freinage
Soit F le module de frottement entre la voiture et le sol. Le
théorème de l’énergie cinétique entre le début du freinage (la
voiture àlavitesse v )etl’arrêt s’écrit :
• 1
er
cas : 0–
=–Fd 1 ;
• 2
e
cas : 0–
=–Fd 2 .
On en déduit
=
2
=2,56,
ce qui donne d 2 =1 02,4 m, soit environ 100 m. La distance
de freinage adonc augmenté de 60 m!
Carabine-jouetàr essort
1 • L’énergie mécanique initiale de la balle est :
M0 =– mg Δ sin a si on choisit l’origine des énergies
potentielles àl ’extrémité du canondel acarabine.Q uand la
balle sort du canon, son énergie est donc uniquement sous
forme d’énergie cinétique, elle vaut
.Laconservation de
l’énergie mécanique (on néglige tout frottement) donne :
v 0 =
9 m
k
(Δ) 2 –2gsin aΔ
v 0 =14,1 m . s –1 51 km . h –1 .
2 • Quand la balle est au sommet de sa trajectoire, sa vitesse
est horizontale. La seule force agissant sur la balle une fois
qu’elle aété tirée est son poids, donc la composante horizontale de la vitesse se conserve :
v H = v 0 cosa =7,0 m . s –1 25 km . h –1 .
Le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant où la balle
sort du canon et celui où elle passe au sommet de sa trajectoire
parabolique s’écrit :
–= – mgh,donc h =
≈ 7,6 m.
v 2
0 sin 2 a
2g
mv 2
0
2
mv 2
H
2
mv 2
0
2
mv 2
2
2
mv 2
1
2
Δ
α
k(Δ) 2
2
2
d 2
d 1
v 2
v 1
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Étude de la chuted’unalpiniste
1 • Notant x l’allongement du ressort, l’équation du mouvement est :
mx ·· =–kx + mg
dont l’intégrale première est, compte tenu des conditions
initiales:
mx ·2 – mgx + kx 2 = mv 0
2 .
L’élongation maximale du ressort est la solution supérieure à:
x eq =d el’équation du second degré:
kx 2 –2mgx – mv 0
2 =0.
Soit :
x max =
1+ 8
1+
2
.
La force maximale vaut alors :
F max = mg 1+ 8
1+
2
.
2 • La hauteur de chute libre h qui donne une vitesse v 0 àla
limite de tension de la corde est h =.
Le facteur de chute du cas étudié est donc f =, ce qui
permet d’écrire la force maximale sous la forme :
F max = P 1+ 5
1+
.
Ce résultat ne dépend que du facteur de chute, pas de h :pour
une corde deux fois plus longue et une hauteur de chute deux
fois plus grande, la force maximale est inchangée (le contact
avec la paroi risque tout de même d’être un peu plus sévère !).
Le cas le plus défavorablec orrespond à L minimum, pour
une hauteur de chute h donnée, soit f =2 ,c as du doc.2de
l’énoncé.
3 • a) i. L’élasticité de la corde est :
a =
, mesurée en N –1 .
Pour F max =9kN, P =800 N, f =2,ilfaut que l’élasticité
de la corde soit a =4,8 . 10 –5 N –1 .
ii. Pour L =10m et f =1,l’élongation maximale est :
x max = aLP 1+ 5
1+
=3,2 m
et la force maximale vaut F max =6,6 kN.
iii. Ce cas apparaît catastrophique :l ah auteur de chute est
importante alors que la partie extensible de la corde est très
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2f
aP
2fP
F max (F max –2P)
2f
aP
v 0
2
2gL
v 0
2
2g
k
m
v 0
g
mg
k
k
m
v 0
g
mg
k
1
2
1
2
1
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Corrigés
Distanceminimale de freinage
Soit F le module de frottement entre la voiture et le sol. Le
théorème de l’énergie cinétique entre le début du freinage (la
voiture àlavitesse v )etl’arrêt s’écrit :
• 1
er
cas : 0–
=–Fd 1 ;
• 2
e
cas : 0–
=–Fd 2 .
On en déduit
=
2
=2,56,
ce qui donne d 2 =1 02,4 m, soit environ 100 m. La distance
de freinage adonc augmenté de 60 m!
Carabine-jouetàr essort
1 • L’énergie mécanique initiale de la balle est :
M0 =– mg Δ sin a si on choisit l’origine des énergies
potentielles àl ’extrémité du canondel acarabine.Q uand la
balle sort du canon, son énergie est donc uniquement sous
forme d’énergie cinétique, elle vaut
.Laconservation de
l’énergie mécanique (on néglige tout frottement) donne :
v 0 =
9 m
k
(Δ) 2 –2gsin aΔ
v 0 =14,1 m . s –1 51 km . h –1 .
2 • Quand la balle est au sommet de sa trajectoire, sa vitesse
est horizontale. La seule force agissant sur la balle une fois
qu’elle aété tirée est son poids, donc la composante horizontale de la vitesse se conserve :
v H = v 0 cosa =7,0 m . s –1 25 km . h –1 .
Le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant où la balle
sort du canon et celui où elle passe au sommet de sa trajectoire
parabolique s’écrit :
–= – mgh,donc h =
≈ 7,6 m.
v 2
0 sin 2 a
2g
mv 2
0
2
mv 2
H
2
mv 2
0
2
mv 2
2
2
mv 2
1
2
Δ
α
k(Δ) 2
2
2
d 2
d 1
v 2
v 1
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