394
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Chimie, 1 re année, PCSI.
La photocopie non autorisée est un délit.
Remarque :L af onction de transfert représente le rapport
entreu e m et u s m en régime forcé. Il est clair que pendant le
régime transitoire, u s est non nulle.
3 • u e (t)=u e 1
(t)+u e 2
(t), avec :
u 1 (t)=U 0 et u 2 (t)=U 0 cos wt,a vec
=80π.
L’équation différentielle qui relie u s à u e étant linéaire, la
réponse en régime forcé à u(t)e st égale àl as omme des
réponses à u e 1
(t)e tu e 2
( t ).
• u e 1
→ u s 1
=0
•Pour u e 2
:
H =
= 1,00 et j =arc tan
=0,23 degré
donc : u s 2
(t)=1,00 U 0 cos (wt + j) ≈ U 0 cos wt .
Conclusion : Le filtre laisse pratiquement intacte la composante alternative du signal d’entrée, de fréquence très supérieure à f 0 et coupe totalementlacomposante continue.
Remarque :Unfiltrepasse-haut coupe la composante continue du signal d’entrée.
4 • Comme cos 3 x =( cos 3x +3cos x), le signal donné
comporte deux pulsations w =2πf=e t3 w=.
On superpose les réponses forcées aux deux composantes
sinusoïdales du signal d’entrée :
•Pour w =:
H == 0,45 et j 1 =arctan (2) =1,1 rad.
•Pour w =:
H == 0,83 et j 2 =arctan =0,59 rad.
D’où :
u e 1
=c os → u s 1
=0,34 U 0 cos + j 1 ;
u e 2
=c os → u s 2
=0,21 U 0 cos + j 2 .
U 0
4
3w 0 t
2
3w 0
2
3U 0
4
w 0 t
2
w 0 t
2
1
5 1+
2
3
2
2
3
3w 0
2
1
8 1+2 2
w 0
2
w 0
2
3w 0
2
1
4
1
7
1+
(80
1
π) 2
1
80π
w
w 0
Corrigés
Action d’un filtrepasse-haut
1 • La relationentre u em et u sm s’obtient par la division de
tension:
u s m =u e m
d’où :
H ==
avec w 0 == 500 s –1 .
Recherchons les comportements asymptotiques.
•Pour w → : H ≈ 1d onc : G (dB) ≈ 0e tj≈0.
•Pour w → 0:H=jd onc : G (dB) ≈ 20 log
et j ≈ .
•Pour w = w 0 : H =s oit G (dB) =–3dBe tj=.
On en déduit l’alluredes courbes de gain et de phase (doc. 1).
Le filtreest bien un passe-haut :
•àtrès haute fréquence (w → ), le condensateur se comporte comme un court-circuit, d’où u s → u e ;
•àtrès basse fréquence, le condensateur se comporte comme
un interrupteurouvert, d’où u s → 0.
2 • Une tension constante peut être vue comme le cas limite
d’une tension périodique de fréquence nulle. Dans ce cas
H =0: le signal d’entrée est éliminé en sortie.
En continu, la capacité se comporte comme une impédance
infinie.
Il n’y aaucun courant dans la résistance, donc la d.d.p. àses
bornes est nulle.
Doc. 1
w 0
w 0
2
–3
log(w)
log(w)
G (dB)
+20dB/décade
4
π
4
1
12
π
2
w
w 0
w
w 0
1
RC
j
w
w
0
1+j
w
w
0
1
1+
w
jw
0
R
R+
jC
1
w
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Chimie, 1 re année, PCSI.
La photocopie non autorisée est un délit.
Remarque :L af onction de transfert représente le rapport
entreu e m et u s m en régime forcé. Il est clair que pendant le
régime transitoire, u s est non nulle.
3 • u e (t)=u e 1
(t)+u e 2
(t), avec :
u 1 (t)=U 0 et u 2 (t)=U 0 cos wt,a vec
=80π.
L’équation différentielle qui relie u s à u e étant linéaire, la
réponse en régime forcé à u(t)e st égale àl as omme des
réponses à u e 1
(t)e tu e 2
( t ).
• u e 1
→ u s 1
=0
•Pour u e 2
:
H =
= 1,00 et j =arc tan
=0,23 degré
donc : u s 2
(t)=1,00 U 0 cos (wt + j) ≈ U 0 cos wt .
Conclusion : Le filtre laisse pratiquement intacte la composante alternative du signal d’entrée, de fréquence très supérieure à f 0 et coupe totalementlacomposante continue.
Remarque :Unfiltrepasse-haut coupe la composante continue du signal d’entrée.
4 • Comme cos 3 x =( cos 3x +3cos x), le signal donné
comporte deux pulsations w =2πf=e t3 w=.
On superpose les réponses forcées aux deux composantes
sinusoïdales du signal d’entrée :
•Pour w =:
H == 0,45 et j 1 =arctan (2) =1,1 rad.
•Pour w =:
H == 0,83 et j 2 =arctan =0,59 rad.
D’où :
u e 1
=c os → u s 1
=0,34 U 0 cos + j 1 ;
u e 2
=c os → u s 2
=0,21 U 0 cos + j 2 .
U 0
4
3w 0 t
2
3w 0
2
3U 0
4
w 0 t
2
w 0 t
2
1
5 1+
2
3
2
2
3
3w 0
2
1
8 1+2 2
w 0
2
w 0
2
3w 0
2
1
4
1
7
1+
(80
1
π) 2
1
80π
w
w 0
Corrigés
Action d’un filtrepasse-haut
1 • La relationentre u em et u sm s’obtient par la division de
tension:
u s m =u e m
d’où :
H ==
avec w 0 == 500 s –1 .
Recherchons les comportements asymptotiques.
•Pour w → : H ≈ 1d onc : G (dB) ≈ 0e tj≈0.
•Pour w → 0:H=jd onc : G (dB) ≈ 20 log
et j ≈ .
•Pour w = w 0 : H =s oit G (dB) =–3dBe tj=.
On en déduit l’alluredes courbes de gain et de phase (doc. 1).
Le filtreest bien un passe-haut :
•àtrès haute fréquence (w → ), le condensateur se comporte comme un court-circuit, d’où u s → u e ;
•àtrès basse fréquence, le condensateur se comporte comme
un interrupteurouvert, d’où u s → 0.
2 • Une tension constante peut être vue comme le cas limite
d’une tension périodique de fréquence nulle. Dans ce cas
H =0: le signal d’entrée est éliminé en sortie.
En continu, la capacité se comporte comme une impédance
infinie.
Il n’y aaucun courant dans la résistance, donc la d.d.p. àses
bornes est nulle.
Doc. 1
w 0
w 0
2
–3
log(w)
log(w)
G (dB)
+20dB/décade
4
π
4
1
12
π
2
w
w 0
w
w 0
1
RC
j
w
w
0
1+j
w
w
0
1
1+
w
jw
0
R
R+
jC
1
w
1