©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
On pose w 0 =; n est un réel positif.
1 • Fonction de transfert. Diagramme de BODE.
Résonance
1.1 – Expression de la fonction de transfert
Justifierles troiséquations ci-dessous :
• v =;
• v A = v (1 + jRCω);
•v A =.
Dans la feuille de travail MAPLE :
•Déclarer les trois équations (attention :d ans le langage
MAPLE le complexe j s’écrit I )etrésoudre le système
en utilisant la commande solve ;onexprimera v, v A et e
en fonction de s.Pour accéder àlasolution, il faut ensuite
utiliser la commande assign :
sol := solve({Eq} ;{vars}) ;
assign(sol) ;
•E xprimer et simplifierl af onction de transfert du montage, H,enfonction de n, R, C, ω,puis de x =:
utiliser la commande subs pour substituer xω 0 à ω.
•Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme canonique
H =e tidentifier H 0 et Q ;quel est le
type de filtre étudié ?Àquelle condition sur Q présentera-t-il une résonance ?Pour vérifierlaforme canonique de
la fonction de transfert, utiliser la commande match.
1.2 – Tracé du diagramme de Bode
On se limite dans cette question au cas où n est compris
entre 0e t1 .
Dans la feuille de travail MAPLE :
•Définir G dB .
•T racer,s ur un même graphe, le diagramme de BODE
G dB = f (log 10 (x)) pour différentes valeurs de n inférieures à1:onpourra pour cela utiliser la commande seq.
Commenter ces courbes.
e + v + jnRCωs
2+jRCω
1
RC1n
V A
e
nC
C
RR
v
2 R
R
s
–
+
H 0
1+
Q
j
x–x
2
ω
ω 0
S
3
EXERCICES
Fonctions de transfert
5
392
f p2 =4 00 kHz. Le signal audio estd ans lesd euxc as un
signal sinusoïdal de fréquence 10 kHz.
On utilise pour sélectionner l’émetteur (1) un filtrepassebande du second ordre, de fréquence de résonance f p1 et
de largeur de bande passante à–3dBégale à20kHz.
Déterminer le gain du filtre pour la fréquence:
f p2 =400 kHz. Conclure.
Que se passerait-il avec f p2 =220 kHz ?
4 • Le signal modulé u 1 (t)é mis par (1) est ensuite traité
pour en extraire le signalaudio. Uneméthodeconsiste àle
multiplier par un signals inusoïdal u d (t)d em ême fréquenceque la porteuse :
u d = U d cos (2π f p t + j);soit : u s = ku 1 (t)u d (t).
Exprimer le signal u s = ku 1 (t)u d (t)i ssu du multiplieur.
Avec quel(s)f iltre(s) peut-on enfin isoler le signal audio
de façon àlerendre audible ?
Étude d’un filtregrâce
àunlogiciel de calculf ormel
On étudie àl’aide du logiciel de calcul MAPLE le circuit
ci-dessous dans lequel l’A.O. est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.
Tous les calculs et tracés seront réalisés grâce au logiciel.
Tout autre logiciel que MAPLE ou toute calculatriceprogrammable suffisamment puissante permet de résoudre cet
exercice. L’objectif est ici de se focaliser sur l’interprétation des résultats expérimentaux que simule le logiciel.
Tout filtre peut aussi être traité avec cette méthode.
13
signal
audio
signal
audio
u(t)
u d (t)
u s (t)
porteuse
multiplicateur
multiplicateur
additionneur
antenne
émétrice
filtre
filtres
antenne
réceptrice
émettrice
Conseils
La largeur de la bande passante est directement liée
au facteur de qualité Q.
4) On exprimera u s (t)s ous la forme d’une somme de
six fonctions sinusoïdales.
Pour extraire une composante d’un signal complexe,
on peut utiliser des filtresqui coupent les fréquences
des signaux indésirables.
La photocopie non autorisée est un délit.
On pose w 0 =; n est un réel positif.
1 • Fonction de transfert. Diagramme de BODE.
Résonance
1.1 – Expression de la fonction de transfert
Justifierles troiséquations ci-dessous :
• v =;
• v A = v (1 + jRCω);
•v A =.
Dans la feuille de travail MAPLE :
•Déclarer les trois équations (attention :d ans le langage
MAPLE le complexe j s’écrit I )etrésoudre le système
en utilisant la commande solve ;onexprimera v, v A et e
en fonction de s.Pour accéder àlasolution, il faut ensuite
utiliser la commande assign :
sol := solve({Eq} ;{vars}) ;
assign(sol) ;
•E xprimer et simplifierl af onction de transfert du montage, H,enfonction de n, R, C, ω,puis de x =:
utiliser la commande subs pour substituer xω 0 à ω.
•Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme canonique
H =e tidentifier H 0 et Q ;quel est le
type de filtre étudié ?Àquelle condition sur Q présentera-t-il une résonance ?Pour vérifierlaforme canonique de
la fonction de transfert, utiliser la commande match.
1.2 – Tracé du diagramme de Bode
On se limite dans cette question au cas où n est compris
entre 0e t1 .
Dans la feuille de travail MAPLE :
•Définir G dB .
•T racer,s ur un même graphe, le diagramme de BODE
G dB = f (log 10 (x)) pour différentes valeurs de n inférieures à1:onpourra pour cela utiliser la commande seq.
Commenter ces courbes.
e + v + jnRCωs
2+jRCω
1
RC1n
V A
e
nC
C
RR
v
2 R
R
s
–
+
H 0
1+
Q
j
x–x
2
ω
ω 0
S
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EXERCICES
Fonctions de transfert
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392
f p2 =4 00 kHz. Le signal audio estd ans lesd euxc as un
signal sinusoïdal de fréquence 10 kHz.
On utilise pour sélectionner l’émetteur (1) un filtrepassebande du second ordre, de fréquence de résonance f p1 et
de largeur de bande passante à–3dBégale à20kHz.
Déterminer le gain du filtre pour la fréquence:
f p2 =400 kHz. Conclure.
Que se passerait-il avec f p2 =220 kHz ?
4 • Le signal modulé u 1 (t)é mis par (1) est ensuite traité
pour en extraire le signalaudio. Uneméthodeconsiste àle
multiplier par un signals inusoïdal u d (t)d em ême fréquenceque la porteuse :
u d = U d cos (2π f p t + j);soit : u s = ku 1 (t)u d (t).
Exprimer le signal u s = ku 1 (t)u d (t)i ssu du multiplieur.
Avec quel(s)f iltre(s) peut-on enfin isoler le signal audio
de façon àlerendre audible ?
Étude d’un filtregrâce
àunlogiciel de calculf ormel
On étudie àl’aide du logiciel de calcul MAPLE le circuit
ci-dessous dans lequel l’A.O. est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.
Tous les calculs et tracés seront réalisés grâce au logiciel.
Tout autre logiciel que MAPLE ou toute calculatriceprogrammable suffisamment puissante permet de résoudre cet
exercice. L’objectif est ici de se focaliser sur l’interprétation des résultats expérimentaux que simule le logiciel.
Tout filtre peut aussi être traité avec cette méthode.
13
signal
audio
signal
audio
u(t)
u d (t)
u s (t)
porteuse
multiplicateur
multiplicateur
additionneur
antenne
émétrice
filtre
filtres
antenne
réceptrice
émettrice
Conseils
La largeur de la bande passante est directement liée
au facteur de qualité Q.
4) On exprimera u s (t)s ous la forme d’une somme de
six fonctions sinusoïdales.
Pour extraire une composante d’un signal complexe,
on peut utiliser des filtresqui coupent les fréquences
des signaux indésirables.