Quelle est l’allure de la réponse àunsignal triangulaire de
fréquence 100 Hz ?
Oscillateur quasi sinusoïdal
de Colpitts
Le montage étudié ci-dessous comprend un amplificateur
opérationnel idéal monté en amplificateur non inverseur et
un filtre de Colpitts constitué d’une inductance L,d e
deux capacités C 1 et C 2 et d’une résistance R.O npose
=+, w C =e t Q =.
1 • Examiner le comportement asymptotique du filtre.
Établir sa fonction de transfert H(jw)=
.
En déduire son ordre, son type et ses principales caractéristiques. Tracer le diagramme de Bode du filtre (courbe
u sm
u em
R 1
R 2
R
A 2
A 1
A 0
R u
E
E
S
u’ s
u s
u e
u 1
C 2
C 1
L
1
C
1
C 1
1
C 2
1
5 5LC
R
Lw C
11
Doc. 3
R
C
R’
v e
v s
de réponse en gain et courbe de réponse en phase) dans
l’hypothèse d’un facteur de qualité Q 1.
2 • Identifierlemontage réalisé avec l’amplificateur opérationnel. En déduire la relation entre u s et u s .
3 • De la fonction de transfertd uf iltre et de la relation
précédente,d éduire l’équationd ifférentielle vérifiéep ar
u s (t).
Àquelle condition le régime libre est-il stable ?
4 • u s n’est jamais rigoureusement nulle en raison de
l’agitation thermique des électrons, des ondes électromagnétiques captées par le circuit et les dérives de l’A.O.
Posons R 2 =( 1+x)a vec x 1.
Àp artir d’une valeur très faible de u s à t =0 ,d écrire
l’évolution de u s (t)s i:
a. x 0;
b. x 0. Dans ce cas, quel est le phénomène (non pris en
compte dans le modèle de l’amplificateur idéal) qui limite
l’amplitude des oscillations ?
Modulation d’amplitude
et démodulation
En radio AM, le signal audio u a (t)m odule un signal de
plus haute fréquence appelé «porteuse ».
La porteuse est un signal sinusoïdal u p (t)defréquence f p :
u p = U p cos (w p t)a vec w p =2πf p .
Un système combine ces deux signaux et fournit le signal
modulé : u(t)=U[1 + a u a (t)] cos (2π f p t).
1 • Tracer l’allure du graphe de u(t)s iu a ( t )e st un signal
en créneaux de fréquence f a =
f p avec a u amax 1.
2 • On suppose ici que le signal audio est sinusoïdal,
d’amplitude U a telle que aU a 1e td ef réquence
f a f p .E xprimer le signal modulé sous la forme d’une
somme de trois fonctions sinusoïdales.
3 • Le récepteur capte deux émetteurs (1) et (2) de même
amplitude et de fréquencesdeporteuses f p1 =200 kHz et
1
10
12
R 1 C 2
C 1
391
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Fonctions de transfert
5
391
Conseils
Écrire la loi des nœuds au niveau de l’entréei nverseuse et utiliser la relation entre la tension différentielle d’entrée et la tension de sortie. Effectuerensuite les simplifications en comparant les valeurs numériques des termes de même degré en jw .
Le montage est un passe-bande. Ses grandeurs caractéristiques doivent être connues. Ne pas hésiter àl es
revoir le caséchéant.
Pour le deuxième montage, il n’yap as de calcul à
faire :p ar quoi suffit-il de remplacerl es termes en
jCw dans la fonction de transfert du premier montage ?
Conseils
Noter par Z l’impédance formée par L en parallèle
sur C,c apacité du condensateur équivalent à C 1 en
série avec C 2 .L ar ésistance R et l’impédance Z
forment un diviseur de tension et les deux capacités
C 1 et C 2 en forment un second.
Appliquer deux fois la formule du diviseur de tension
pour obtenir H(jw)=
u
u
e
sm
m
.
fréquence 100 Hz ?
Oscillateur quasi sinusoïdal
de Colpitts
Le montage étudié ci-dessous comprend un amplificateur
opérationnel idéal monté en amplificateur non inverseur et
un filtre de Colpitts constitué d’une inductance L,d e
deux capacités C 1 et C 2 et d’une résistance R.O npose
=+, w C =e t Q =.
1 • Examiner le comportement asymptotique du filtre.
Établir sa fonction de transfert H(jw)=
.
En déduire son ordre, son type et ses principales caractéristiques. Tracer le diagramme de Bode du filtre (courbe
u sm
u em
R 1
R 2
R
A 2
A 1
A 0
R u
E
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S
u’ s
u s
u e
u 1
C 2
C 1
L
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C
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C 1
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C 2
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R
Lw C
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Doc. 3
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de réponse en gain et courbe de réponse en phase) dans
l’hypothèse d’un facteur de qualité Q 1.
2 • Identifierlemontage réalisé avec l’amplificateur opérationnel. En déduire la relation entre u s et u s .
3 • De la fonction de transfertd uf iltre et de la relation
précédente,d éduire l’équationd ifférentielle vérifiéep ar
u s (t).
Àquelle condition le régime libre est-il stable ?
4 • u s n’est jamais rigoureusement nulle en raison de
l’agitation thermique des électrons, des ondes électromagnétiques captées par le circuit et les dérives de l’A.O.
Posons R 2 =( 1+x)a vec x 1.
Àp artir d’une valeur très faible de u s à t =0 ,d écrire
l’évolution de u s (t)s i:
a. x 0;
b. x 0. Dans ce cas, quel est le phénomène (non pris en
compte dans le modèle de l’amplificateur idéal) qui limite
l’amplitude des oscillations ?
Modulation d’amplitude
et démodulation
En radio AM, le signal audio u a (t)m odule un signal de
plus haute fréquence appelé «porteuse ».
La porteuse est un signal sinusoïdal u p (t)defréquence f p :
u p = U p cos (w p t)a vec w p =2πf p .
Un système combine ces deux signaux et fournit le signal
modulé : u(t)=U[1 + a u a (t)] cos (2π f p t).
1 • Tracer l’allure du graphe de u(t)s iu a ( t )e st un signal
en créneaux de fréquence f a =
f p avec a u amax 1.
2 • On suppose ici que le signal audio est sinusoïdal,
d’amplitude U a telle que aU a 1e td ef réquence
f a f p .E xprimer le signal modulé sous la forme d’une
somme de trois fonctions sinusoïdales.
3 • Le récepteur capte deux émetteurs (1) et (2) de même
amplitude et de fréquencesdeporteuses f p1 =200 kHz et
1
10
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R 1 C 2
C 1
391
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Fonctions de transfert
5
391
Conseils
Écrire la loi des nœuds au niveau de l’entréei nverseuse et utiliser la relation entre la tension différentielle d’entrée et la tension de sortie. Effectuerensuite les simplifications en comparant les valeurs numériques des termes de même degré en jw .
Le montage est un passe-bande. Ses grandeurs caractéristiques doivent être connues. Ne pas hésiter àl es
revoir le caséchéant.
Pour le deuxième montage, il n’yap as de calcul à
faire :p ar quoi suffit-il de remplacerl es termes en
jCw dans la fonction de transfert du premier montage ?
Conseils
Noter par Z l’impédance formée par L en parallèle
sur C,c apacité du condensateur équivalent à C 1 en
série avec C 2 .L ar ésistance R et l’impédance Z
forment un diviseur de tension et les deux capacités
C 1 et C 2 en forment un second.
Appliquer deux fois la formule du diviseur de tension
pour obtenir H(jw)=
u
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sm
m
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