©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Étude de l’oscillateur
4 • Le dipôle àrésistance négative est inséré dans le circuit
suivant :
a. Montrer que la tension U(t)v érifie une équation différentielle de la forme a
+ b
+(1–c)U(t)=0.
On utilisera deux méthodes différentes ;onexprimera a ,
b et c en fonction de L , Γ , R b et R n .
b. Quelles sont les conditions àfixer pour que les solutions
soient purement sinusoïdales ?
c. Calculer la fréquence des oscillations en fonction des données ;o nveut f =5 0k Hz ;S achant que R b =0,7 Ω et
L b =1 50 mH ,c alculer L ainsi que le facteur de qualité,
Q =
R
1
b
1
,d ec ec ircuit;vérifier quel es conditions
du b. sont bien satisfaites en calculant R n .
Dérives d’un intégrateurà
amplificateur opérationnel réel
On considère un intégrateur inverseur réalisé avec un
amplificateur opérationnelr éel dont la modélisation est
donnée ci-après (doc. 1et2).
Doc. 1
–
+
E –
R 0
E +
S
R
C
v s
v e
8
L
Γ
d 2 U(t)
dt 2
dU(t)
dt
I b (t)
L b
R n
I n (t)
R b
Γ
i(t)
U(t)
En fonctionnement linéaire on supposera que V + = V – au
niveau de l’A.O. idéal et on admettra que la tension de
décalage V d et les courants d’entrée I + et I – de l’amplificateur opérationnel sont constants.
Par définition, le courant I p =( I + + I – )e st le courant
de polarisation et le courant I d = I + – I – est le courant de
décalage (doc. 2).
Données :R =1 0k Ω ,C=1 00 nF et V sat =1 5V et
V d =2mV;I p =80nA;I d =10nA.
Doc. 2
1 • Aucun signal n’est appliqué àl’entréedel’intégrateur
(v e =0)e tlatensiondesortie v s (t)e st initialement nulle.
Montrer qu’en l’absence de R 0 l’amplificateur opérationnel tend vers un état de saturation.
En déduire qu’il est possible, parunchoix convenable de
la résistance R 0 d’éliminer le terme en I p ,c ’est-à-dire
de retardercette saturation sans pour autant l’éviter.
2 • On place maintenant une résistance R = R en parallèle sur le condensateur C.
Montrer,q u’en l’absenced es ignal appliqué (v e =0 ), la
saturation de l’amplificateur opérationnel est évitée mais
que la tensiond es ortie v s prend, en régime permanent,
une valeur v slim faible, mais non nulle.
Déterminerl av aleur de R 0 qui annule le terme en I p
dans l’expression de v slim .
Quelle est alors la valeur de v slim ?
3 • En admettant que v slim soit négligeable,onapplique
àl’entrée de l’intégrateur un signal :
v e (t)=v em cos (wt).
Établir l’expression de la réponse v s (t)d el’intégrateur.
Dans quel domaine de fréquencesc ec ircuit effectue-t-il,
en régime établi, une opération d’intégration ?
1
2
R
I
R 0
V d
u
E
E
C
S
v s
v e
I
EXERCICES
Amplificateur opérationnel
4
369
Conseils
Les résultats demandés s’établissent àl’aidedelaloi
des nœuds en termes de potentiels.
Conseils
1) et 2) Se souvenir des différencesdepropriétés d’un
A. Op. idéalenrégime linéaire et en régime saturé.
3) Trouver l’intervalle de valeurs de V pour lesquelles le fonctionnement de l’A.O. est linéaire.
4) a. Faire le calcul direct puis utiliser la notation
complexe avec la correspondance jω↔
d
d
t
.
4) b. Quelle est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique non amorti ?
La photocopie non autorisée est un délit.
Étude de l’oscillateur
4 • Le dipôle àrésistance négative est inséré dans le circuit
suivant :
a. Montrer que la tension U(t)v érifie une équation différentielle de la forme a
+ b
+(1–c)U(t)=0.
On utilisera deux méthodes différentes ;onexprimera a ,
b et c en fonction de L , Γ , R b et R n .
b. Quelles sont les conditions àfixer pour que les solutions
soient purement sinusoïdales ?
c. Calculer la fréquence des oscillations en fonction des données ;o nveut f =5 0k Hz ;S achant que R b =0,7 Ω et
L b =1 50 mH ,c alculer L ainsi que le facteur de qualité,
Q =
R
1
b
1
,d ec ec ircuit;vérifier quel es conditions
du b. sont bien satisfaites en calculant R n .
Dérives d’un intégrateurà
amplificateur opérationnel réel
On considère un intégrateur inverseur réalisé avec un
amplificateur opérationnelr éel dont la modélisation est
donnée ci-après (doc. 1et2).
Doc. 1
–
+
E –
R 0
E +
S
R
C
v s
v e
8
L
Γ
d 2 U(t)
dt 2
dU(t)
dt
I b (t)
L b
R n
I n (t)
R b
Γ
i(t)
U(t)
En fonctionnement linéaire on supposera que V + = V – au
niveau de l’A.O. idéal et on admettra que la tension de
décalage V d et les courants d’entrée I + et I – de l’amplificateur opérationnel sont constants.
Par définition, le courant I p =( I + + I – )e st le courant
de polarisation et le courant I d = I + – I – est le courant de
décalage (doc. 2).
Données :R =1 0k Ω ,C=1 00 nF et V sat =1 5V et
V d =2mV;I p =80nA;I d =10nA.
Doc. 2
1 • Aucun signal n’est appliqué àl’entréedel’intégrateur
(v e =0)e tlatensiondesortie v s (t)e st initialement nulle.
Montrer qu’en l’absence de R 0 l’amplificateur opérationnel tend vers un état de saturation.
En déduire qu’il est possible, parunchoix convenable de
la résistance R 0 d’éliminer le terme en I p ,c ’est-à-dire
de retardercette saturation sans pour autant l’éviter.
2 • On place maintenant une résistance R = R en parallèle sur le condensateur C.
Montrer,q u’en l’absenced es ignal appliqué (v e =0 ), la
saturation de l’amplificateur opérationnel est évitée mais
que la tensiond es ortie v s prend, en régime permanent,
une valeur v slim faible, mais non nulle.
Déterminerl av aleur de R 0 qui annule le terme en I p
dans l’expression de v slim .
Quelle est alors la valeur de v slim ?
3 • En admettant que v slim soit négligeable,onapplique
àl’entrée de l’intégrateur un signal :
v e (t)=v em cos (wt).
Établir l’expression de la réponse v s (t)d el’intégrateur.
Dans quel domaine de fréquencesc ec ircuit effectue-t-il,
en régime établi, une opération d’intégration ?
1
2
R
I
R 0
V d
u
E
E
C
S
v s
v e
I
EXERCICES
Amplificateur opérationnel
4
369
Conseils
Les résultats demandés s’établissent àl’aidedelaloi
des nœuds en termes de potentiels.
Conseils
1) et 2) Se souvenir des différencesdepropriétés d’un
A. Op. idéalenrégime linéaire et en régime saturé.
3) Trouver l’intervalle de valeurs de V pour lesquelles le fonctionnement de l’A.O. est linéaire.
4) a. Faire le calcul direct puis utiliser la notation
complexe avec la correspondance jω↔
d
d
t
.
4) b. Quelle est l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique non amorti ?