CORRIGÉS
Réseauxlinéaires en régime sinusoïdal forcé
3
362
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
d. Z 3 = j
et la condition (1) s’écrit :
+
= 0,
soit encore :=
,
d’où :2 C p ( w 2 – w
2
p )=C(w
2
s –w 2 ),
et finalement :
w 2 =
.
La fréquence pour laquelle v s (t)=v e (t)s ’établit à:
(3)
f ==
1
2
Le quartz aalors un comportement inductif puisque :
f s f f p ,d ’après (3) où il apparaît que :
w
2
s w 2 w
2
p .
Réponse d’un circuit (L, C)
1 • Pour t 0, u s (t)v érifie l’équation différentielle :
+ w
2
0 u s = w
2
0 u e = w
2
0 U 0 cos wt.
La solution en régime forcé (ou «solution particulière ») est :
u 1 (t)=
U 0 cos wt .
La solution générale de l’équation avec un second membre
nul est :
u 2 (t)=Acos w 0 t + B sin w 0 t.
La solution générale de l’équation complète est donc :
u s (t)=u 1 (t)+u 2 (t)
=
U 0 cos wt + A cos w 0 t + B sin w 0 t
où A et B sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
L’inductance impose la continuité du courant, donc i(0 + )=0,
soit :
t =0 +
=0.
Le courant est fini, et la charge du condensateur est continue,
donc :
(u s ) t =0 +=0.
•u s (0) =0⇒
U 0 +A=0.
• t =0 +
=0⇒B=0.
du s
dt
w
2
0
w
2
0 –w 2
du s
dt
w
2
0
w
2
0 –w 2
w
2
0
w
2
0 –w
d 2 u s
dt 2
12
w
2π
1
2π
2C p w
2
p + Cw
2
s
2C p + C
2C p w
2
p + Cw
2
s
2C p + C
2
C
w
2
s – w 2
C p (w 2 – w
2
p )
2
jCw
j(w
2
s – w 2 )
C p w(w 2 – w
2
p )
w
2
s – w 2
C p w(w 2 – w
2
p )
La solution est donc :
u s (t)=
U 0 (cos wt –cos w 0 t).
En l’absence de résistance, le régime libre ne s’amortit pas.
On ne peut donc pas parler de régime transitoire.
2 • La solution précédente est évidemment inapplicable pour
w = w 0 :elle donneune forme indéterminée
.
On cherche une solution de la forme :
u s (t)=atcos (w 0 t + j).
•Les C.I. doivent être respectées :
u s (0) =0,e t =0 si j =+ p π .
La solution doit donc être de la forme :
u s (t)=atsin w 0 t .
•Oninjecte cette solution dans l’équation différentielle :
2 aw 0 cos w 0 t = w
2
0 U 0 cos w 0 t.
On en déduit par identification :
a =.
On amontré que la forme proposée convient et on obtient :
u s (t)=
sin w 0 t.
•Lecourant est donné par :
i(t)=C
=C
sin w 0 t + C
cos w 0 t .
La puissance instantanée est :
p(t)=u e (t)i(t)
=s in w 0 t cos w 0 t +
t cos 2 w 0 t .
Le premier terme aune valeur moyenne nulle.
Le second terme est positif et son amplitude d’oscillation est
une fonction croissante du temps.
L’amplitude des oscillations augmentantlinéairement, l’énergie stockéedans l’oscillateur croît comme t 2 ,d ’où la nécessité d’un apport continu (et de plus en plus grand !) d’énergie
de la part de la source.
Pour des raisons de limitation de fonctionnement des composants, une telle évolution ne peut cependant pas durer éternellement :soit les éléments vont sortir de leur comportement
linéaire,soit ils seront détruits.
w
2
0
w
2
0 – w 2
Cw
2
0 U
2
0
2
Cw 0 U
2
0
2
w
2
0 U 0 t
2
w 0 U 0
2
du s
dt
w 0 U 0 t
2
w 0 U 0
2
π
2
du s
dt
0
0
Réseauxlinéaires en régime sinusoïdal forcé
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362
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
d. Z 3 = j
et la condition (1) s’écrit :
+
= 0,
soit encore :=
,
d’où :2 C p ( w 2 – w
2
p )=C(w
2
s –w 2 ),
et finalement :
w 2 =
.
La fréquence pour laquelle v s (t)=v e (t)s ’établit à:
(3)
f ==
1
2
Le quartz aalors un comportement inductif puisque :
f s f f p ,d ’après (3) où il apparaît que :
w
2
s w 2 w
2
p .
Réponse d’un circuit (L, C)
1 • Pour t 0, u s (t)v érifie l’équation différentielle :
+ w
2
0 u s = w
2
0 u e = w
2
0 U 0 cos wt.
La solution en régime forcé (ou «solution particulière ») est :
u 1 (t)=
U 0 cos wt .
La solution générale de l’équation avec un second membre
nul est :
u 2 (t)=Acos w 0 t + B sin w 0 t.
La solution générale de l’équation complète est donc :
u s (t)=u 1 (t)+u 2 (t)
=
U 0 cos wt + A cos w 0 t + B sin w 0 t
où A et B sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
L’inductance impose la continuité du courant, donc i(0 + )=0,
soit :
t =0 +
=0.
Le courant est fini, et la charge du condensateur est continue,
donc :
(u s ) t =0 +=0.
•u s (0) =0⇒
U 0 +A=0.
• t =0 +
=0⇒B=0.
du s
dt
w
2
0
w
2
0 –w 2
du s
dt
w
2
0
w
2
0 –w 2
w
2
0
w
2
0 –w
d 2 u s
dt 2
12
w
2π
1
2π
2C p w
2
p + Cw
2
s
2C p + C
2C p w
2
p + Cw
2
s
2C p + C
2
C
w
2
s – w 2
C p (w 2 – w
2
p )
2
jCw
j(w
2
s – w 2 )
C p w(w 2 – w
2
p )
w
2
s – w 2
C p w(w 2 – w
2
p )
La solution est donc :
u s (t)=
U 0 (cos wt –cos w 0 t).
En l’absence de résistance, le régime libre ne s’amortit pas.
On ne peut donc pas parler de régime transitoire.
2 • La solution précédente est évidemment inapplicable pour
w = w 0 :elle donneune forme indéterminée
.
On cherche une solution de la forme :
u s (t)=atcos (w 0 t + j).
•Les C.I. doivent être respectées :
u s (0) =0,e t =0 si j =+ p π .
La solution doit donc être de la forme :
u s (t)=atsin w 0 t .
•Oninjecte cette solution dans l’équation différentielle :
2 aw 0 cos w 0 t = w
2
0 U 0 cos w 0 t.
On en déduit par identification :
a =.
On amontré que la forme proposée convient et on obtient :
u s (t)=
sin w 0 t.
•Lecourant est donné par :
i(t)=C
=C
sin w 0 t + C
cos w 0 t .
La puissance instantanée est :
p(t)=u e (t)i(t)
=s in w 0 t cos w 0 t +
t cos 2 w 0 t .
Le premier terme aune valeur moyenne nulle.
Le second terme est positif et son amplitude d’oscillation est
une fonction croissante du temps.
L’amplitude des oscillations augmentantlinéairement, l’énergie stockéedans l’oscillateur croît comme t 2 ,d ’où la nécessité d’un apport continu (et de plus en plus grand !) d’énergie
de la part de la source.
Pour des raisons de limitation de fonctionnement des composants, une telle évolution ne peut cependant pas durer éternellement :soit les éléments vont sortir de leur comportement
linéaire,soit ils seront détruits.
w
2
0
w
2
0 – w 2
Cw
2
0 U
2
0
2
Cw 0 U
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w
2
0 U 0 t
2
w 0 U 0
2
du s
dt
w 0 U 0 t
2
w 0 U 0
2
π
2
du s
dt
0
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