CORRIGÉS
Réseaux linéairesenr égime sinusoïdal forcé
3
361
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • De même pour la structure (b), l’adaptation d’impédances entre le générateur et le dipôle impose :
R g =
,
d’où, en regroupant les termes réels et imaginaires:
R g R u – +jw L(R g –R u )– =0.
L’égalité àzéro entraîne :
= R g R u et LC =
a vec R g R u .
On en déduit :
L =
5
et C =
.
Étude d’un quartz
1 • La structure du schéma équivalent permet d’écrire :
Z =
.
Pour arriver àlaforme proposée pour Z,i lfaut multiplier le
numérateur et le dénominateur de la fraction précédente par
jC s w :
Z =
,
d’où :
Z = j
.
En posant w
2
s =e t w
2
p = + ,onaboutit à
l’expression désirée ci-dessous.
2 • Z = j
.
On étudie le signe de
.
w
2
s – w 2
w 2 – w 2
p
w
2
s – w 2
C p w(w 2 – w 2
p )
1
LC s
1
L
1
C s
1
C p
1
C p w
L
1
C s
– w 2
w 2 –
LC
1
s
1+ C
C
p
s
1
jC p w
(1 – LC s w 2 )
1+
C
C
p
s
–LC s w 2
jC
1
p w
jLw + jC
1
s w
jC
1
p w
+
jC
1
s w
+ jLw
11
R g
w
R u
R g – R u
1
w9R u (R g – R u )
L
C
R g
w 2 (R g – R u )
L
C
R g
Cw 2
jLw R u + jC
1
w
R u + j Lw – C
1
w
Le circuit adonc un comportement inductif pour :
w s w w p ,alors Z = jLw
avec L 0.
3 • a.
Au nœud A,l aloi des nœuds en termes de potentiels s’écrit :
sv e +++
=0.
De plus, v A =
v s ,c ar Z 1 et Z 3 forment un diviseur de la tension v A .
D’où :
sv e =–v s +
+
H =
, ou :
H =–
.
b. Z 1 , Z 2 et Z 3 sont des réactances pures, donc elles peuvent
être notées :
Z 1 = jX 1 , Z 2 = jX 2 et Z 3 = jX 3 ,
où les X k sont des réels.
Il en résulte que :
H =
.
v e et v s ont même amplitude et même phase si, et seulement
si H =1,c ’est-à-dire :
X 1 + X 2 + X 3 =0
⇔
X 1 +X 2 +X 3 =0
sRX 1 X 2 =–X 2 (X 1 +X 3 )
sRX 1 X 2 = X
2
2 .
Comme X 1 et X 2 ne sont pas nulles, les conditions cherchées s’établissent à:
X 1 +X 2 +X 3 =0
(1)
sR =
X
X
2
1
(2)
c. Par hypothèse :
X 1 = X 2 =–
et X 3 = Lw.
Les conditions précédentes deviennent :
Lw =
C
2
w
soit
w =
3 L
2
C
sR =1
sR =1
1
Cw
sRX 1 X 2
– X 2 (X 1 + X 3 )+jR(X 1 + X 2 + X 3 )
sRZ 1 Z 2
(R + Z 2 )(Z 1 + Z 3 )+RZ 2
sZ 1
R
R
+
Z
Z
2
2
(Z 1 + Z 3 )+1
1
R
1
Z 2
Z 1 +Z 3
Z 1
1
Z 1
Z 1 +Z 3
Z 1
v A
R
v A
Z 2
v A –v s
Z 3
EA
S
0
R
MM M
v e
Z 2
Z 3
s v e
Z 1 v s
w w
0
w s
w p
+
w w 2
s – w w 2
+0
––
w
w 2 – w w 2
p
–
–
+
–0
+–
w w 2
s – w w 2
w w 2 – w
w 2
p
Réseaux linéairesenr égime sinusoïdal forcé
3
361
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • De même pour la structure (b), l’adaptation d’impédances entre le générateur et le dipôle impose :
R g =
,
d’où, en regroupant les termes réels et imaginaires:
R g R u – +jw L(R g –R u )– =0.
L’égalité àzéro entraîne :
= R g R u et LC =
a vec R g R u .
On en déduit :
L =
5
et C =
.
Étude d’un quartz
1 • La structure du schéma équivalent permet d’écrire :
Z =
.
Pour arriver àlaforme proposée pour Z,i lfaut multiplier le
numérateur et le dénominateur de la fraction précédente par
jC s w :
Z =
,
d’où :
Z = j
.
En posant w
2
s =e t w
2
p = + ,onaboutit à
l’expression désirée ci-dessous.
2 • Z = j
.
On étudie le signe de
.
w
2
s – w 2
w 2 – w 2
p
w
2
s – w 2
C p w(w 2 – w 2
p )
1
LC s
1
L
1
C s
1
C p
1
C p w
L
1
C s
– w 2
w 2 –
LC
1
s
1+ C
C
p
s
1
jC p w
(1 – LC s w 2 )
1+
C
C
p
s
–LC s w 2
jC
1
p w
jLw + jC
1
s w
jC
1
p w
+
jC
1
s w
+ jLw
11
R g
w
R u
R g – R u
1
w9R u (R g – R u )
L
C
R g
w 2 (R g – R u )
L
C
R g
Cw 2
jLw R u + jC
1
w
R u + j Lw – C
1
w
Le circuit adonc un comportement inductif pour :
w s w w p ,alors Z = jLw
avec L 0.
3 • a.
Au nœud A,l aloi des nœuds en termes de potentiels s’écrit :
sv e +++
=0.
De plus, v A =
v s ,c ar Z 1 et Z 3 forment un diviseur de la tension v A .
D’où :
sv e =–v s +
+
H =
, ou :
H =–
.
b. Z 1 , Z 2 et Z 3 sont des réactances pures, donc elles peuvent
être notées :
Z 1 = jX 1 , Z 2 = jX 2 et Z 3 = jX 3 ,
où les X k sont des réels.
Il en résulte que :
H =
.
v e et v s ont même amplitude et même phase si, et seulement
si H =1,c ’est-à-dire :
X 1 + X 2 + X 3 =0
⇔
X 1 +X 2 +X 3 =0
sRX 1 X 2 =–X 2 (X 1 +X 3 )
sRX 1 X 2 = X
2
2 .
Comme X 1 et X 2 ne sont pas nulles, les conditions cherchées s’établissent à:
X 1 +X 2 +X 3 =0
(1)
sR =
X
X
2
1
(2)
c. Par hypothèse :
X 1 = X 2 =–
et X 3 = Lw.
Les conditions précédentes deviennent :
Lw =
C
2
w
soit
w =
3 L
2
C
sR =1
sR =1
1
Cw
sRX 1 X 2
– X 2 (X 1 + X 3 )+jR(X 1 + X 2 + X 3 )
sRZ 1 Z 2
(R + Z 2 )(Z 1 + Z 3 )+RZ 2
sZ 1
R
R
+
Z
Z
2
2
(Z 1 + Z 3 )+1
1
R
1
Z 2
Z 1 +Z 3
Z 1
1
Z 1
Z 1 +Z 3
Z 1
v A
R
v A
Z 2
v A –v s
Z 3
EA
S
0
R
MM M
v e
Z 2
Z 3
s v e
Z 1 v s
w w
0
w s
w p
+
w w 2
s – w w 2
+0
––
w
w 2 – w w 2
p
–
–
+
–0
+–
w w 2
s – w w 2
w w 2 – w
w 2
p