CORRIGÉS
Réseaux linéairesenr égime sinusoïdal forcé
3
359
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
R, C sont donnés dans l’énoncé, φ, ω et Z AB sont connus,
on peut bien en déduire r et L.Comme tan φ =1,
R+r=Lw–, d’où Z AB
2 =(R+r) 2 +
Lw–
2
il vient r =9Ω,puis L =60mH.
Étude d’un circuit bouchon
a. Le facteur de qualité Q du circuit donné par l’énoncé est :
Q ==
en notant w 0 =l apulsation propre.
Il en résulte que :
L == 64 µH
et :
C == 400 pF.
b. L’impédance complexe Z(w)d ucircuit est:
Z(w)=
=
.
Pour LCw
2
0 =1,e lle s’établit à:
Z(w 0 )=
≈
=rQ 2
puisque r =
L w 0 .
Àlafréquence propre (w = w 0 ), l’impédanceducircuit bouchon est réelle et vaut Z 0 = rQ 2 =80kΩ.
c. Àlafréquence propre (w = w 0 ), les valeurs efficaces des
intensités dans chacune des branches du circuit s’établissent
à:
I L =
≈
== 25 µA
et :
I C = Cw 0 E == 25 µA.
Ces intensités sont presque égales en valeur efficace donc en
amplitude mais elles présentent, par rapport àl at ension
appliquée e(t), des déphasages différents respectivement
égaux à:
j L ≈–e t j c =.
L’intensitéd uc ourant principal, c’est-à-dire l’intensitéd ébitée par la source, vaut :
I ==
=125 nA.
On remarque que ces intensités sont liées par la relation :
I L = I C = QI.
1
Cw
E
Z 0
E
rQ 2
π
2
π
2
E
rQ
E
9 r 2 +(Lw 0 ) 2
E
Lw 0
E
rQ
Lw 0
Q
r + jLw 0
jrCw 0
jLw 0
jrCw 0
(r + jLw)
jC
1
w
r + jLw +
jC
1
w
r + jLw
1–LCw 2 + jrCw
1
rQw 0
rQ
w 0
1
5LC
Lw 0
r
1
rCw 0
7
1
Cw
d. Au voisinage de la fréquence propre,
1,
on a r L w 0 et par suite :
=
≈
=
.
On considère le terme Lw – .I lest possible de lui
donner une expression plus simple au voisinage de la fréquence propre, en notant :
δw = w – w 0 (avec δw w 0 ):
Lw– =Q – 2Q .
En définitive, il vient :
=
=
.
Dès que
=, on a =.
Ainsi pour
1, on a Z(w)
.
Ce circuit est donc très sélectife t«b loque »l ep assage du
courant au voisinagedelafréquence f 0 (d’où son nom de circuit «bouchon »).
Remarque :Ledomaine de fréquence Δw dans lequel :
Z(w)
est égal à: Δw=2δw, soit donc encore:
Δw=.
Δ w est ici une bande «n on passante »d ’autant plus faible
que Q est grand.
Adaptation d’impédances
1 • Les puissances absorbées par le dipôle L 0 et par le
dipôle C sont nulles, ces deux éléments étant non dissipatifs.
•L ap uissance fournie par le générateur est donc celle
absorbée par le dipôle série (R, L 1 ).
•
Réseaux linéairesenr égime sinusoïdal forcé
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
R, C sont donnés dans l’énoncé, φ, ω et Z AB sont connus,
on peut bien en déduire r et L.Comme tan φ =1,
R+r=Lw–, d’où Z AB
2 =(R+r) 2 +
Lw–
2
il vient r =9Ω,puis L =60mH.
Étude d’un circuit bouchon
a. Le facteur de qualité Q du circuit donné par l’énoncé est :
Q ==
en notant w 0 =l apulsation propre.
Il en résulte que :
L == 64 µH
et :
C == 400 pF.
b. L’impédance complexe Z(w)d ucircuit est:
Z(w)=
=
.
Pour LCw
2
0 =1,e lle s’établit à:
Z(w 0 )=
≈
=rQ 2
puisque r =
L w 0 .
Àlafréquence propre (w = w 0 ), l’impédanceducircuit bouchon est réelle et vaut Z 0 = rQ 2 =80kΩ.
c. Àlafréquence propre (w = w 0 ), les valeurs efficaces des
intensités dans chacune des branches du circuit s’établissent
à:
I L =
≈
== 25 µA
et :
I C = Cw 0 E == 25 µA.
Ces intensités sont presque égales en valeur efficace donc en
amplitude mais elles présentent, par rapport àl at ension
appliquée e(t), des déphasages différents respectivement
égaux à:
j L ≈–e t j c =.
L’intensitéd uc ourant principal, c’est-à-dire l’intensitéd ébitée par la source, vaut :
I ==
=125 nA.
On remarque que ces intensités sont liées par la relation :
I L = I C = QI.
1
Cw
E
Z 0
E
rQ 2
π
2
π
2
E
rQ
E
9 r 2 +(Lw 0 ) 2
E
Lw 0
E
rQ
Lw 0
Q
r + jLw 0
jrCw 0
jLw 0
jrCw 0
(r + jLw)
jC
1
w
r + jLw +
jC
1
w
r + jLw
1–LCw 2 + jrCw
1
rQw 0
rQ
w 0
1
5LC
Lw 0
r
1
rCw 0
7
1
Cw
d. Au voisinage de la fréquence propre,
1,
on a r L w 0 et par suite :
=
≈
=
.
On considère le terme Lw – .I lest possible de lui
donner une expression plus simple au voisinage de la fréquence propre, en notant :
δw = w – w 0 (avec δw w 0 ):
Lw– =Q – 2Q .
En définitive, il vient :
=
=
.
Dès que
=, on a =.
Ainsi pour
1, on a Z(w)
.
Ce circuit est donc très sélectife t«b loque »l ep assage du
courant au voisinagedelafréquence f 0 (d’où son nom de circuit «bouchon »).
Remarque :Ledomaine de fréquence Δw dans lequel :
Z(w)
est égal à: Δw=2δw, soit donc encore:
Δw=.
Δ w est ici une bande «n on passante »d ’autant plus faible
que Q est grand.
Adaptation d’impédances
1 • Les puissances absorbées par le dipôle L 0 et par le
dipôle C sont nulles, ces deux éléments étant non dissipatifs.
•L ap uissance fournie par le générateur est donc celle
absorbée par le dipôle série (R, L 1 ).
•
=UI cos j = U 2
pour un dipôle d’impédance Z = Ze j j
.
Or
=e – j j et
=Re ,d’où
=U 2 Re .
1
Z
w – w 0
w 0
1
Z
1
Z
cos ϕ
Z
1
Z
cos ϕ
Z
8
w 0
Q
Z(w 0 )
12
δw
w 0
1
400
Z(w 0 )
12
δw
w 0
1
2Q
Z(w)
Z(w 0 )
1
12
Z(w)
Z(w 0 )
1
1+j 1
r
Lw– C
1
w
1
1+j2Q
δ
w
w
0
1
r
1
Cw
w
w 0
w 0
w
δw
w 0
1
Cw
1
r
jrCw
(1 – LCw 2 )+jrCw
1
1+j 1
r
Lw– C
1
w
Z(w)
Z(w 0 )
r+jLw
(1 – LCw 2 )+jrCw
jrCw 0
r + jLw 0