Impédanceitérative
Par définition, l’impédance d’entrée du réseau est donnée par :
Z e =.
Z e apparaît comme l’impédance «vue »depuis les bornes du
générateur u e ,c ’est-à-dire d’un réseau constitué d’un
condensateur C en parallèle avec l’impédance Z 1 résultat de
l’association d’une inductance L en série avec C et Z en
parallèle.
Donc :
Z 1 = jLw += jLw +
et :
Z e ==
.
On cherche Z i telle que Z e = Z i = Z ,s oit :
Z i =
ou encore :
Z i (1 + jCw Z 1 )=Z 1 .
En remplaçant Z 1 par son expression, il vient :
Z i 1+jCw jLw +
= jLw +,
d’où, en multipliant cette équation par (1 + jCwZ i ):
Z i (1 + jCwZ i – LCw 2 – jLC 2 w 3 Z i + jCwZ i )
= jLw – LCw 2 Z i + Z i ,
en simplifiant :2 jCwZ
2
i – jLC 2 w 3 Z
2
i = jLw.
Finalement l’expression de Z i s’établit à:
Z
2
i ==.
Pour aller plus loin, il faut discuter du signe de 2–LCw 2 :
•si2–LCw 2 0, soit w
,a lors il vient :
Z i =
1
,
Z i est une résistance (en ne retenant que la solution positive
seule physiquement acceptable) dont la valeur dépend de la
pulsation w utilisée ;
L
C
1
9 2–LCw 2
12
LC
L
2C – LC 2 w 2
L
C
1
2–LCw 2
Z i
1+jCwZ i
Z i
1+jCwZ i
Z 1
1+jCwZ 1
jC
1
w
Z 1
jC
1
w
+ Z 1
Z 1
1+jCwZ 1
jC
1
w
Z
jC
1
w
+ Z
Z
1+jCwZ
u e
i e
C
C
u e
i e
L
Z
5
•si2–LCw 2 0, soit w
,a lors :
Z i =±j
1
.
Z i est soit une inductance (signe +), soit une capacité
(signe –) et sa valeur dépend de w.
Résistance interne d’une bobine
1 • La période lue sur l’oscillogramme est T =4.10 –3 s;elle
est bien sûr (régime forcé) commune aux deux signaux. On
en déduit w == 1571 rads –1 .
•Lav oie Id onne la tension aux bornes de R.D onc
I m ==
=182 mA.
•Lavoie II donne directement u e (t), donc U m =8V.
• U e = Z AB I,soit U m = Z AB I m ,donc Z AB =44Ω.
2•La courbe II atteint, lorsque t augmente, son maximum
avant la courbe I, elle est donc en avance, c’est-à-dire :si
u II = u II m cos (ω t)a lors u I = u I m cos (ω t – g )
avec u I m 0e tγ0.
3 • L’écart temporel entre les deux courbes est de
Δt =5.10 –4 s.
Le déphasage correspondant vaut donc
.2π =0 ,785 rad,
soit 45°. Comme u e (t)e st en avance sur i(t):
u e (t)=U m cos ω t ⇒ i(t)=I m cos (ω t –0,785)
et φ =+45° ou +0,785 rad
(on vérifie bien que pour t =, i est maximum et pour
t =–
,i est nul).
4 • En notation complexe Z = R + j
Lω –
et U = Z I
avec U = U m et I = I m e – jφ ;soit tan φ =
d’où Lω –= R tan φ =22Ω.
Or Z = 0 R 2 +
Lω –
2 =31Ω.
La valeur expérimentale est Z AB =4 4Ω ce qui ne correspond pas. Donc l’hypothèse d’une bobine parfaite ne
convient pas.
5 • En tenant compte de la résistance interne
Z =(R+r)+j
Lw–
et tan φ =
1
Cw
L
C
Rr
ω
ω
−
+
1
L
C
R
ω
ω
−
1
1
C ω
1
C ω
1
C ω
0,785
ω
0,785
ω
Δt
T
U R m
R
4
22
2π
T
6
L
C
1
9 LCw 2 –2
12
LC
CORRIGÉS
Réseauxlinéaires en régime sinusoïdal forcé
3
358
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Par définition, l’impédance d’entrée du réseau est donnée par :
Z e =.
Z e apparaît comme l’impédance «vue »depuis les bornes du
générateur u e ,c ’est-à-dire d’un réseau constitué d’un
condensateur C en parallèle avec l’impédance Z 1 résultat de
l’association d’une inductance L en série avec C et Z en
parallèle.
Donc :
Z 1 = jLw += jLw +
et :
Z e ==
.
On cherche Z i telle que Z e = Z i = Z ,s oit :
Z i =
ou encore :
Z i (1 + jCw Z 1 )=Z 1 .
En remplaçant Z 1 par son expression, il vient :
Z i 1+jCw jLw +
= jLw +,
d’où, en multipliant cette équation par (1 + jCwZ i ):
Z i (1 + jCwZ i – LCw 2 – jLC 2 w 3 Z i + jCwZ i )
= jLw – LCw 2 Z i + Z i ,
en simplifiant :2 jCwZ
2
i – jLC 2 w 3 Z
2
i = jLw.
Finalement l’expression de Z i s’établit à:
Z
2
i ==.
Pour aller plus loin, il faut discuter du signe de 2–LCw 2 :
•si2–LCw 2 0, soit w
,a lors il vient :
Z i =
1
,
Z i est une résistance (en ne retenant que la solution positive
seule physiquement acceptable) dont la valeur dépend de la
pulsation w utilisée ;
L
C
1
9 2–LCw 2
12
LC
L
2C – LC 2 w 2
L
C
1
2–LCw 2
Z i
1+jCwZ i
Z i
1+jCwZ i
Z 1
1+jCwZ 1
jC
1
w
Z 1
jC
1
w
+ Z 1
Z 1
1+jCwZ 1
jC
1
w
Z
jC
1
w
+ Z
Z
1+jCwZ
u e
i e
C
C
u e
i e
L
Z
5
•si2–LCw 2 0, soit w
,a lors :
Z i =±j
1
.
Z i est soit une inductance (signe +), soit une capacité
(signe –) et sa valeur dépend de w.
Résistance interne d’une bobine
1 • La période lue sur l’oscillogramme est T =4.10 –3 s;elle
est bien sûr (régime forcé) commune aux deux signaux. On
en déduit w == 1571 rads –1 .
•Lav oie Id onne la tension aux bornes de R.D onc
I m ==
=182 mA.
•Lavoie II donne directement u e (t), donc U m =8V.
• U e = Z AB I,soit U m = Z AB I m ,donc Z AB =44Ω.
2•La courbe II atteint, lorsque t augmente, son maximum
avant la courbe I, elle est donc en avance, c’est-à-dire :si
u II = u II m cos (ω t)a lors u I = u I m cos (ω t – g )
avec u I m 0e tγ0.
3 • L’écart temporel entre les deux courbes est de
Δt =5.10 –4 s.
Le déphasage correspondant vaut donc
.2π =0 ,785 rad,
soit 45°. Comme u e (t)e st en avance sur i(t):
u e (t)=U m cos ω t ⇒ i(t)=I m cos (ω t –0,785)
et φ =+45° ou +0,785 rad
(on vérifie bien que pour t =, i est maximum et pour
t =–
,i est nul).
4 • En notation complexe Z = R + j
Lω –
et U = Z I
avec U = U m et I = I m e – jφ ;soit tan φ =
d’où Lω –= R tan φ =22Ω.
Or Z = 0 R 2 +
Lω –
2 =31Ω.
La valeur expérimentale est Z AB =4 4Ω ce qui ne correspond pas. Donc l’hypothèse d’une bobine parfaite ne
convient pas.
5 • En tenant compte de la résistance interne
Z =(R+r)+j
Lw–
et tan φ =
1
Cw
L
C
Rr
ω
ω
−
+
1
L
C
R
ω
ω
−
1
1
C ω
1
C ω
1
C ω
0,785
ω
0,785
ω
Δt
T
U R m
R
4
22
2π
T
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C
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9 LCw 2 –2
12
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CORRIGÉS
Réseauxlinéaires en régime sinusoïdal forcé
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