356
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Chimie, 1 ρε année, PCSI.
La photocopie non autorisée est un délit.
Corrigés
Une question d’impédance
Dans le premierc as, le courant traversant l’ampèremètree st
d’amplitude complexe : i m = Ye m ,a vec :
Y =+
= +
+ –
.
Dans le second cas, il vient : i m = Ye m ,a vec :
Y = Y + jCw = +
+ jCw –
.
L’ampèremètre indique la valeur efficaceducourant, de sorte
que l’on veut que la condition i m = i m soit réalisée, soit
encore : Y = Y .
Ces deux admittances ont même partie réelle, et leurs parties
imaginaires, différentes, ne peuvent s’identifier qu’au signe
près. La condition recherchée est alors nécessairement :
jCw –= –
ou encore :
C =.
i R :c ourant dans la résistance R,e nphase avec e m délivré
par le générateur.
i L :c ourant dans l’inductance( r, L ), en retard de j tel que
tan j =–
.
i C :c ourant dans le condensateur C,e navance de
sur
la phase du générateur.
L’égalité des modules de i m et i m (K fermé et Ko uvert)
impose :
Cw =, soit C =.
2 L w
r 2 + L 2 w 2
2 L
r 2 + L 2 w 2
π
2
L w
r
K fermé
i m
i’ m
K ouvert
i C jC e m
e m r
r 2 (L ) 2
– jL e m
r 2 (L ) 2
phase du
générateur
i R e m
R
i L
2L
r 2 + L 2 w 2
jLw
r 2 + L 2 w 2
– jLw
r 2 + L 2 w 2
1
R
r
r 2 + L 2 w 2
jLw
r 2 + L 2 w 2
1
R
1
r + jLw
1
R
r
r 2 + L 2 w 2
jLw
r 2 + L 2 w 2
2
Utilisation de la notation
complexe
1 • a. Dipôle (R, C)s érie :
Z = R += R – j
,
d’où numériquement: Z=31,8 kΩ et j =–89,8°.
b. Dipôle (R, C)p arallèle :
=+ jCw =,
d’où Z =, soit numériquement :
Z =100 Ω et j =–0,18°.
c. Dipôle (R, L)s érie : Z = R + jLw,d onc :
Z =104,8 Ω et j =17,4°.
d. Dipôle (R, L)p arallèle :=+e t, par suite,
Z =.
Numériquement, il vient Z =29,2 Ω et j =72,6°.
e. On note par Z 0 l’impédance de (L, C)p arallèle :
Z 0 ==
,
donc Z = R +,
donc :
Z =104,8 Ω et j =17,45°.
2 • On réalise l’égalité :
=+ jCw ==
=
=
.
En égalant les parties réelles, il vient :
R == R +,
soit encore, en introduisant le facteur a a = :
R = R(1 + a 2 ).
De même, en égalant les parties imaginaires, on obtient :
C ==
.
On calcule alors :
a = RCw = RCwa 2 = a.
Les facteurs a et a sont donc identiques.
C
1+(RCw) 2
Ca 2
1+a 2
1
RCw
1+(RCw) 2
R(Cw) 2
1
R(Cw) 2
R(Cw) 2 + jCw
1+(RCw) 2
1
Z
1
R
1
Z
1
R +
jC
1
w
jCw
1+jRCw
jLw
1–LCw 2
1
jL
1
w
+ jCw
jLw
1–LCw 2
jLwR
R + jLw
1
Z
1
R
1
jLw
R
1+jRCw
1
Z
1
R
1+jRCw
R
1
jCw
1
Cw
1
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Chimie, 1 ρε année, PCSI.
La photocopie non autorisée est un délit.
Corrigés
Une question d’impédance
Dans le premierc as, le courant traversant l’ampèremètree st
d’amplitude complexe : i m = Ye m ,a vec :
Y =+
= +
+ –
.
Dans le second cas, il vient : i m = Ye m ,a vec :
Y = Y + jCw = +
+ jCw –
.
L’ampèremètre indique la valeur efficaceducourant, de sorte
que l’on veut que la condition i m = i m soit réalisée, soit
encore : Y = Y .
Ces deux admittances ont même partie réelle, et leurs parties
imaginaires, différentes, ne peuvent s’identifier qu’au signe
près. La condition recherchée est alors nécessairement :
jCw –= –
ou encore :
C =.
i R :c ourant dans la résistance R,e nphase avec e m délivré
par le générateur.
i L :c ourant dans l’inductance( r, L ), en retard de j tel que
tan j =–
.
i C :c ourant dans le condensateur C,e navance de
sur
la phase du générateur.
L’égalité des modules de i m et i m (K fermé et Ko uvert)
impose :
Cw =, soit C =.
2 L w
r 2 + L 2 w 2
2 L
r 2 + L 2 w 2
π
2
L w
r
K fermé
i m
i’ m
K ouvert
i C jC e m
e m r
r 2 (L ) 2
– jL e m
r 2 (L ) 2
phase du
générateur
i R e m
R
i L
2L
r 2 + L 2 w 2
jLw
r 2 + L 2 w 2
– jLw
r 2 + L 2 w 2
1
R
r
r 2 + L 2 w 2
jLw
r 2 + L 2 w 2
1
R
1
r + jLw
1
R
r
r 2 + L 2 w 2
jLw
r 2 + L 2 w 2
2
Utilisation de la notation
complexe
1 • a. Dipôle (R, C)s érie :
Z = R += R – j
,
d’où numériquement: Z=31,8 kΩ et j =–89,8°.
b. Dipôle (R, C)p arallèle :
=+ jCw =,
d’où Z =, soit numériquement :
Z =100 Ω et j =–0,18°.
c. Dipôle (R, L)s érie : Z = R + jLw,d onc :
Z =104,8 Ω et j =17,4°.
d. Dipôle (R, L)p arallèle :=+e t, par suite,
Z =.
Numériquement, il vient Z =29,2 Ω et j =72,6°.
e. On note par Z 0 l’impédance de (L, C)p arallèle :
Z 0 ==
,
donc Z = R +,
donc :
Z =104,8 Ω et j =17,45°.
2 • On réalise l’égalité :
=+ jCw ==
=
=
.
En égalant les parties réelles, il vient :
R == R +,
soit encore, en introduisant le facteur a a = :
R = R(1 + a 2 ).
De même, en égalant les parties imaginaires, on obtient :
C ==
.
On calcule alors :
a = RCw = RCwa 2 = a.
Les facteurs a et a sont donc identiques.
C
1+(RCw) 2
Ca 2
1+a 2
1
RCw
1+(RCw) 2
R(Cw) 2
1
R(Cw) 2
R(Cw) 2 + jCw
1+(RCw) 2
1
Z
1
R
1
Z
1
R +
jC
1
w
jCw
1+jRCw
jLw
1–LCw 2
1
jL
1
w
+ jCw
jLw
1–LCw 2
jLwR
R + jLw
1
Z
1
R
1
jLw
R
1+jRCw
1
Z
1
R
1+jRCw
R
1
jCw
1
Cw
1