©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
On se placera dans ce cas par la suite.
2 • Stabilité de l’équilibre
a) Exprimer l’énergie potentielle E p (z)a ssociée àc e
mouvement (on choisit E p (0) =0 ). Tracer l’allure des
variations de E p (z), et discuter la stabilité des positions
d’équilibreobtenues.
b) Quelle est la pulsation w 0 des petites oscillations de la
sphère au voisinage de l’équilibrestable ?(On l’exprimera en notant z e la position d’équilibrestable.)
3 • On at racé ci-dessous quelques trajectoires de phase
dansleplan z, pour diverses conditions initiales.
a) Peut-on préciser le type de conditions initialesqui aété
choisi, et le sens d’évolution de la particule sur ces trajectoires ?
b) Proposer quelques commentaires pour les évolutions
observées.
Navireàmoteur (Banque G2E08)
Un navire, de masse m =10000 tonnes, file en ligne droite, àlavitesse v 0 =15nœuds.
La force de résistance exercée par l’eau sur la coque du
bateau est du type : F = kv 2 où k est une constante et v la
vitesse du bateau.
Un nœud correspond à1m ille nautique par heure et le
nautique est égal à1852 m.
On se place dans un référentiel lié au port qui sera supposé galiléen.
8
1
v/w 0
1234
5
0
–1
–2
–3
–3
– 2– 1
–4
z
v
w 0
2• La gouttière G représente maintenant un des trous
d’un parcoursdegolf miniature :laballe doit faire un looping complet àl ’intérieur de G avantd ep oursuivre son
chemin (liaison unilatérale). La gouttière est évidemment
ouverte en W et «décalée »pour que la balle puisse poursuivre son chemin. La balle est assimilée àunpoint matériel P de masse m .E lle arrive au point W avec la
vitesse v 0 .
a) Étudier les différents mouvements possibles de P suivant les valeurs de v 0 .
Quelle valeur minimale de v 0 faut-il donner àlaballe pour
qu’elle effectue le tour complet ?
b) On choisit encore v 0 =25gR .Pour quelle valeur de q
la balle quitte-t-elle le contact avec la gouttière ?Àq uel
instant cela se produit-il ?
Mouvementd’une particule
chargéesur un axe
L’axe vertical( Oz)e st matérialisé par un fil fin sur lequel
peut coulisser sans frottement une très petite sphère, de
masse m ,portant la charge électrique q positive.
Un cerceau de rayon R et d’axe (Oz), portant une charge électrique positive répartie uniformément sur sa circonférence, crée un champ électrique dont on admettra l’expression sur l’axe (Oz):
E
➞
axe (z)=a
e
➞
z ,où aest une constante positive.
1 • Force subie
a) Exprimer la valeur algébrique F(z)d elaforce d’origine électrique F
➞ (z)=F ( z )e
➞
z subie par la petite sphère.
Tracer l’alluredes variations de F(z).
b) Pour quelles valeurs de la masse m est-il possible
d’obtenir des positions d’équilibre pour la petite sphère ?
7
z
(R 2 + z 2 )
3
2
EXERCICES
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
32
Conseils
1) La perle effectue un tour complet si sa vitesse ne
s’annule pas au cours de son mouvement. Le signe de
la réaction de la gouttière (ou de la glissière, dans
cette question) n’a aucune importanceici, car la perle
est enfilée sur la gouttière, donc le contact est toujours assuré.
Pour déterminer l’équation du mouvement, isoler
d
d
q
t
àp artir du théorème de l’énergie cinétiquee n
faisant très attentiona ux signes (on rappelle que
3x
2
= x). Mettre ensuite cette équation sous la
forme dt = f(q)dq avant de l’intégrer.
2) Dans ce cas, quand la réaction de la gouttière s’annule, la balle quitte le support :lagouttière ne joue plus
le rôle de glissière. Il reste àétudier,suivant les valeurs
de v 0 ,silaréaction s’annule avant la vitesse ou non.
Conseils
1) Àl’équilibre, la somme des forcesdoit s’annuler.
2) L’équilibre stable correspond àu nm inimum
d’énergie potentielle. Pour de petits mouvements, on
peut essayer de linéariserl ’équation du mouvement
au voisinage de l’équilibre.
La photocopie non autorisée est un délit.
On se placera dans ce cas par la suite.
2 • Stabilité de l’équilibre
a) Exprimer l’énergie potentielle E p (z)a ssociée àc e
mouvement (on choisit E p (0) =0 ). Tracer l’allure des
variations de E p (z), et discuter la stabilité des positions
d’équilibreobtenues.
b) Quelle est la pulsation w 0 des petites oscillations de la
sphère au voisinage de l’équilibrestable ?(On l’exprimera en notant z e la position d’équilibrestable.)
3 • On at racé ci-dessous quelques trajectoires de phase
dansleplan z, pour diverses conditions initiales.
a) Peut-on préciser le type de conditions initialesqui aété
choisi, et le sens d’évolution de la particule sur ces trajectoires ?
b) Proposer quelques commentaires pour les évolutions
observées.
Navireàmoteur (Banque G2E08)
Un navire, de masse m =10000 tonnes, file en ligne droite, àlavitesse v 0 =15nœuds.
La force de résistance exercée par l’eau sur la coque du
bateau est du type : F = kv 2 où k est une constante et v la
vitesse du bateau.
Un nœud correspond à1m ille nautique par heure et le
nautique est égal à1852 m.
On se place dans un référentiel lié au port qui sera supposé galiléen.
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1
v/w 0
1234
5
0
–1
–2
–3
–3
– 2– 1
–4
z
v
w 0
2• La gouttière G représente maintenant un des trous
d’un parcoursdegolf miniature :laballe doit faire un looping complet àl ’intérieur de G avantd ep oursuivre son
chemin (liaison unilatérale). La gouttière est évidemment
ouverte en W et «décalée »pour que la balle puisse poursuivre son chemin. La balle est assimilée àunpoint matériel P de masse m .E lle arrive au point W avec la
vitesse v 0 .
a) Étudier les différents mouvements possibles de P suivant les valeurs de v 0 .
Quelle valeur minimale de v 0 faut-il donner àlaballe pour
qu’elle effectue le tour complet ?
b) On choisit encore v 0 =25gR .Pour quelle valeur de q
la balle quitte-t-elle le contact avec la gouttière ?Àq uel
instant cela se produit-il ?
Mouvementd’une particule
chargéesur un axe
L’axe vertical( Oz)e st matérialisé par un fil fin sur lequel
peut coulisser sans frottement une très petite sphère, de
masse m ,portant la charge électrique q positive.
Un cerceau de rayon R et d’axe (Oz), portant une charge électrique positive répartie uniformément sur sa circonférence, crée un champ électrique dont on admettra l’expression sur l’axe (Oz):
E
➞
axe (z)=a
e
➞
z ,où aest une constante positive.
1 • Force subie
a) Exprimer la valeur algébrique F(z)d elaforce d’origine électrique F
➞ (z)=F ( z )e
➞
z subie par la petite sphère.
Tracer l’alluredes variations de F(z).
b) Pour quelles valeurs de la masse m est-il possible
d’obtenir des positions d’équilibre pour la petite sphère ?
7
z
(R 2 + z 2 )
3
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EXERCICES
Puissancee ténergie en référentiel galiléen
3
32
Conseils
1) La perle effectue un tour complet si sa vitesse ne
s’annule pas au cours de son mouvement. Le signe de
la réaction de la gouttière (ou de la glissière, dans
cette question) n’a aucune importanceici, car la perle
est enfilée sur la gouttière, donc le contact est toujours assuré.
Pour déterminer l’équation du mouvement, isoler
d
d
q
t
àp artir du théorème de l’énergie cinétiquee n
faisant très attentiona ux signes (on rappelle que
3x
2
= x). Mettre ensuite cette équation sous la
forme dt = f(q)dq avant de l’intégrer.
2) Dans ce cas, quand la réaction de la gouttière s’annule, la balle quitte le support :lagouttière ne joue plus
le rôle de glissière. Il reste àétudier,suivant les valeurs
de v 0 ,silaréaction s’annule avant la vitesse ou non.
Conseils
1) Àl’équilibre, la somme des forcesdoit s’annuler.
2) L’équilibre stable correspond àu nm inimum
d’énergie potentielle. Pour de petits mouvements, on
peut essayer de linéariserl ’équation du mouvement
au voisinage de l’équilibre.