CORRIGÉS
Réseaux linéairesenr égime variable
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Pour étudier l’évolution de la tension u C (t)a près l’ouverture de l’interrupteur K, on prend comme nouvelle origine des
temps la date de l’ouverture de l’interrupteur.L ’équation différentielle en u C (t)s ’obtient encore par application de la loi des
mailles :
E = u C (t)+Ri(t)+L
,
où i(t)=C
,soit en définitive :
E = u C (t)+RC
+ LC
.
On pose w 0 =e t=
,
soit :
Q ==
=
1
.
Il vient, en divisant l’équation précédente par LC :
++ w
2
0 u c ( t )=w
2
0 E.
(1)
Pour qu’aucune surtension n’apparaisse aux bornes de l’interrupteur,ilfaut que le régimeducircuit soit un régime apériodique :
Q =
1
,d onc C
.
En dérivantl ’équation différentielle en u C (t), on obtient
l’équation différentielle en i(t):
++ w
2
0 i ( t )=0.
C’est pour la valeur critique Q C =q ue le courant d’ouverture s’annule le plus rapidement possible. Mais cette
condition est quasiment impossible àsatisfaire exactement, il
faut prendre Q légèrementinférieur àlavaleur critiquepour
obtenirl er ésultat souhaité. En définitive, il faut choisir un
condensateur de capacité C légèrement supérieure àl a
valeur critique C c =.
On considère pour la suite, le cas théorique de l’amortissement
critique. Le courant évolue alors suivant une loi de la forme :
i(t)=(A+Bt)e –w 0 t .
Les conditions de continuitéà t=0 imposent :
i(0 – )=i(0 + )=
et E = Ri(0 + )+L t =0
,
+
soit L t =0+
=0.
Il en résulte que A =e t B = w 0 ,d onc :
i(t)= (1 + w 0 t)e –w 0 t .
Les variations de i(t)sont données ci-après :
du C (t)
dt
di(t)
dt
d 2 u C (t)
dt 2
du C (t)
dt
w 0
Q
R
L
1
5LC
L
C
1
R
1
RCw 0
Lw 0
R
d 2 u c (t)
dt 2
w 0
Q
du c (t)
dt
E
R
E
R
E
R
di
dt
di
dt
E
R
4L
R 2
1
2
di(t)
dt
w 0
Q
d 2 i(t)
dt 2
4L
R 2
1
2
L
C
1
R
Par ailleurs,les conditions de continuité à t =0 donnent :
u C (0 – )=u C (0 + )=0et i(0 + )=C t =0
=
donc t =0
==E ,c ar Q C =.
En régime critique, la loi de variation de u C (t), solution de
l’équation différentielle (1),est de la forme :
u C (t)=(A+Bt)e – w 0 t + E
ce qui, compte tenu des conditions initiales, s’explicite en :
u C (t)=E–E 1+ w 0 t e –w 0 t .
Les variations de u C (t)s ont données ci-dessous.
La valeur maximale de u C (t)s ’obtiente nc alculant la dérivée de u C (t):
=
i ( t )=
(1 + w 0 t)e – w 0 t
=( 1+w 0 t)e – w 0 t .
Cette dérivée ne s’annule que pour t tendant vers l’infini,
c’est-à-dire que u C,m ax = E.A ucune surtension n’apparaît
aux bornes de l’interrupteur.
3 • En l’absence de condensateur,l’inductance provoque aux
bornes de l’interrupteur Ku ne surtension telle qu’il ya pparaît une étincelle conductrice qui referme le circuit. Ainsi, la
continuité du courant àtravers l’inductancesetrouve assurée
(contre la volontédel’expérimentateur).
Cettesurtension peut d’ailleurs être dangereuse pour des systèmes inductifs parcourus par des courants importants
(moteurs électriques). La présence du condensateur àl ’ouvertureducircuit est une mesure de sécurité.
1
2
w 0
2
E
RC
du C
dt
E
R
du C
dt
t
0
1,2 T 0
i
E
R
T 0
0
T 0
2 π
Ew 0
2
E
RC
1
C
du C (t)
dt
t
0
RC
E
u C (t)
1
2