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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Corrigés
4 • •Si2. est vérifiée V AB
•Par analogie avec 2.,
V AD
Or, V BD = V BA + V AD ;une condition nécessairepour que
V BD soit nul est que V AB soit indépendant du temps ;
donc, par la même démarche qu’en 2.,
•Ilreste alors
qui doit être nul, soit R 3 R 2 = R 1 R 4 et finalement la bonne proposition est c.
Transfert de charges
entredeux condensateurs
1 • La loi d’Ohm appliquée àlarésistance s’écrit :
(1) u – u = Ri,a vec i =–C
=C
.
En dérivant la première relation, on élimine les tensions u et
u àl’aide de la deuxièmerelation :
R
+ + i =0.
En posant = + ,o nobtientune équation différentielle d’ordre 1àcoefficients constants
+= 0, qui
s’intègre en i(t)=
e
– t
t
puisque i(0) =. En effet,
u(0 – )=u(0 + )=E
et u(0 – )=u(0 – )=0,par continuité de q(t)etq(t)en0.
Le courant de décharge décroîte xponentiellement jusqu’à
s’annuler.
2 • Initialement seul le condensateur C est chargé et :
(0) =.
Lorsque l’équilibre est atteint, (1) conduità
u()=u()=U ,l ’énergie du système est :
()=
.
La détermination de U s’effectue en écrivant que la charge
du système s’est conservée : CE =( C+C ) U ,d ’où :
U =
E et ()=
.
L’énergie du système avarié de :
C
C + C
C 2 E 2
2(C + C)
(C + C)U
2
2
CE 2
2
V
RE
RR
RE
RR
BD =
+
−
+
3
34
1
12
L
L
R
R
3
4
3
4
=
RE
RR
LE
LL
RE
RR
=
+
+
+
−
+
3
34
3
34
3
34
−
+
+
e
RR
LL
t
34
34
RE
RR
.
=
+
1
12
3
d u
d t
d u
d t
d i
d t
1
C
1
C
1
t
1
R
1
C
1
C
d i
d t
i
t
E
R
E
R
Δ = ( )–(0) =
–1
=–
E 2 0.
La charge du système n’a pas varié, mais son énergie adiminué.
3 • On calcule l’énergie dissipée dans la résistance R :
R =
0
Ri 2 dt = R
2
0
e
–
2
t
t
d t
=
–e
– 2
t
t
0 ==
E 2 .
On constate que R = Δ :laprésence de la résistance permet la dissipationdel’énergie Δ sous forme d’effet Joule,
mais la valeur de Δ n’est pas déterminée par la résistance
R qui ne figure d’ailleurspas dans son expression.
4 • Lorsque la résistance R est nulle, le bilan d’énergie peut
se modéliserdedeux façonsdifférentes ou complémentaires :
•del ’énergie est dissipée au niveau de l’interrupteur lors de
la mise en contact ;
•lecircuit ne fonctionne plus dans l’A.R.Q.S. et de l’énergie
est rayonnée (effet d’antenne).
Annulation de la surtension
aux bornesd’uncircuit (R, L)
commuté
1 • L’équation différentielle en i(t)s ’obtient par la loi des
mailles :
E = Ri(t)+L
,
d’où, en posant t =: t
+ i ( t )= .
Cette équation différentielle linéaire d’ordre 1a dmet une
solution de la forme :
i(t)=Ae
– t
t
+,
où la constante d’intégration A se détermine àl ’aide des
conditions initiales i(0 – )=i(0 + )=0,t raduisant que le courant
àtravers l’inductanceest une fonction continue du temps :
i(t)= 1–e
– t
t
.
Le régime permanent est théoriquement atteint au bout d’un
temps infini et l’intensité est alors égale à i lim =. L’écart
entre la valeur de l’intensitéàladate t et sa valeur limite est,
en valeur relative, égale à= e
– t
t
.S oit t 0 tel que
e
–
t
t
0
=10 –2 ,i lvient t 0 = t ln(10 2 )=4,6 t.P ratiquement, au
bout de 5 t,o nneperçoit plus, àmieuxde1%, d’évolution
pour le courant i(t).
CE 2
2
C
C + C
CC
C + C
1
2
E
R
CC
C + C
1
2
E 2 t
2R
E 2 t
2R
4
E
R
di(t)
dt
L
R
di(t)
dt
E
R
E
R
E
R
i lim – i(t)
i lim
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Corrigés
4 • •Si2. est vérifiée V AB
•Par analogie avec 2.,
V AD
Or, V BD = V BA + V AD ;une condition nécessairepour que
V BD soit nul est que V AB soit indépendant du temps ;
donc, par la même démarche qu’en 2.,
•Ilreste alors
qui doit être nul, soit R 3 R 2 = R 1 R 4 et finalement la bonne proposition est c.
Transfert de charges
entredeux condensateurs
1 • La loi d’Ohm appliquée àlarésistance s’écrit :
(1) u – u = Ri,a vec i =–C
=C
.
En dérivant la première relation, on élimine les tensions u et
u àl’aide de la deuxièmerelation :
R
+ + i =0.
En posant = + ,o nobtientune équation différentielle d’ordre 1àcoefficients constants
+= 0, qui
s’intègre en i(t)=
e
– t
t
puisque i(0) =. En effet,
u(0 – )=u(0 + )=E
et u(0 – )=u(0 – )=0,par continuité de q(t)etq(t)en0.
Le courant de décharge décroîte xponentiellement jusqu’à
s’annuler.
2 • Initialement seul le condensateur C est chargé et :
(0) =.
Lorsque l’équilibre est atteint, (1) conduità
u()=u()=U ,l ’énergie du système est :
()=
.
La détermination de U s’effectue en écrivant que la charge
du système s’est conservée : CE =( C+C ) U ,d ’où :
U =
E et ()=
.
L’énergie du système avarié de :
C
C + C
C 2 E 2
2(C + C)
(C + C)U
2
2
CE 2
2
V
RE
RR
RE
RR
BD =
+
−
+
3
34
1
12
L
L
R
R
3
4
3
4
=
RE
RR
LE
LL
RE
RR
=
+
+
+
−
+
3
34
3
34
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34
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+
+
e
RR
LL
t
34
34
RE
RR
.
=
+
1
12
3
d u
d t
d u
d t
d i
d t
1
C
1
C
1
t
1
R
1
C
1
C
d i
d t
i
t
E
R
E
R
Δ = ( )–(0) =
–1
=–
E 2 0.
La charge du système n’a pas varié, mais son énergie adiminué.
3 • On calcule l’énergie dissipée dans la résistance R :
R =
0
Ri 2 dt = R
2
0
e
–
2
t
t
d t
=
–e
– 2
t
t
0 ==
E 2 .
On constate que R = Δ :laprésence de la résistance permet la dissipationdel’énergie Δ sous forme d’effet Joule,
mais la valeur de Δ n’est pas déterminée par la résistance
R qui ne figure d’ailleurspas dans son expression.
4 • Lorsque la résistance R est nulle, le bilan d’énergie peut
se modéliserdedeux façonsdifférentes ou complémentaires :
•del ’énergie est dissipée au niveau de l’interrupteur lors de
la mise en contact ;
•lecircuit ne fonctionne plus dans l’A.R.Q.S. et de l’énergie
est rayonnée (effet d’antenne).
Annulation de la surtension
aux bornesd’uncircuit (R, L)
commuté
1 • L’équation différentielle en i(t)s ’obtient par la loi des
mailles :
E = Ri(t)+L
,
d’où, en posant t =: t
+ i ( t )= .
Cette équation différentielle linéaire d’ordre 1a dmet une
solution de la forme :
i(t)=Ae
– t
t
+,
où la constante d’intégration A se détermine àl ’aide des
conditions initiales i(0 – )=i(0 + )=0,t raduisant que le courant
àtravers l’inductanceest une fonction continue du temps :
i(t)= 1–e
– t
t
.
Le régime permanent est théoriquement atteint au bout d’un
temps infini et l’intensité est alors égale à i lim =. L’écart
entre la valeur de l’intensitéàladate t et sa valeur limite est,
en valeur relative, égale à= e
– t
t
.S oit t 0 tel que
e
–
t
t
0
=10 –2 ,i lvient t 0 = t ln(10 2 )=4,6 t.P ratiquement, au
bout de 5 t,o nneperçoit plus, àmieuxde1%, d’évolution
pour le courant i(t).
CE 2
2
C
C + C
CC
C + C
1
2
E
R
CC
C + C
1
2
E 2 t
2R
E 2 t
2R
4
E
R
di(t)
dt
L
R
di(t)
dt
E
R
E
R
E
R
i lim – i(t)
i lim