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Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Décharge d’un condensateur
L’interrupteur étant fermé depuis «t rès longtemps» ,l ec ircuit aatteint son régime permanent. Le condensateur est complètement chargé et le courantqui le traverse estnul. On peut
donc le remplacer par un circuit ouvert.
Sur le schéma équivalent à t =0 – ,o nreconnaît un diviseur
de tension, ce qui donne :
u(0 – )=E
.
Schéma équivalent àt=0 –
Sur le schéma valable pour t 0, on reconnaît le régime
libre d’un simple circuit (R, C).
Avec les conventions utilisées :
u(t)=+Ri(t)e ti ( t )=–C
.
L’équation différentielle estdonc :
t
+ u =0 avec t = RC.
On remarque que contrairement àu(t), la fonction i(t) est discontinue en t=0.
La tension u étant une fonction continue du temps :
u(0 + )=u(0 – )=E
.
On en déduit la solution : u(t)=E
exp ,
et donc, par dérivation(ou en remarquant que u(t)=Ri(t)) :
i(t)=
exp .
E
R + r
– t
t
1
R
R + r
– t
t
R
R + r
t
t = RC
Ri(t) et u(t)
u(t)
i (t)
du
dt
du
dt
r
R
u
i=0
E
R
R + r
Étudedecircuits (R, L)(d’après
ENAC)
1 • Sachant que τ est homogène àtemps, les réponses a. et c.
sont impossibles. À t =0ondoit avoir i(t)=0donc la réponse c. est aussi impossible. La réponse est donc d. C’est le cas
du cours ;l’important est de bien écrire la continuité de i dans
la bobine en t =0.
L’équation différentielleest E = Ri + L
et s’intègre en
+; avec i(0 + )=i(0 – )=0,
il vient bien d.
2 • On peut associer L 1 et L 2 en série : L = L 1 + L 2 et R 1 et
R 2 en série : R = R 1 + R 2 et appliquer 1. pour déterminer i AC
D’autre part V AB = R 1 i AC + L 1
d’où V AB indépendantdutemps si
ou encore, réponse c.
3 • Avec la relation du 2.
et P AB (t)=V AB i AC (t)
soit réponse a.
Remarque :Les réponses b. et c. peuvent êtreéliminées d’emblée car inhomogènes.
E
RR
RR
LL
t
−
+
−
+
+
−
exp
12
12
12
1
i =−
i AC =
soit
d
AB
AB AC
AB
()
()
()
ω
ω
tV iu u
t
u
ut
=
=
=
∫ 0
(
)
–
=
+
=
∫
−
RE
RR
eu
RE
t
R
L
u
1
2
12
20
1
1
1
1
d
ω AB
2 2
12
2
1
1
1
1
1
(
)
RR
te
L
R
R
L
t
+
+−
−
E
R
V
RE
RR
RR
LL
R
L
R
AB =
+
+
+
==
1
12
12
12
1
1
2
et
L L 2
.
L
L
R
R
1
2
1
2
=
R
RR
L
LL
1
12
1
12
+
=
+
VR
E
RR
L
E
LL
AB
exp
=−
+
+
+
1 12
1 12
.
−
+
+
+
+
RR
LL
t
RE
RR
12
12
1
12
d
d
i
t
AC
i
R
L
t
exp
=−
λ
d
d
i
t
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Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Décharge d’un condensateur
L’interrupteur étant fermé depuis «t rès longtemps» ,l ec ircuit aatteint son régime permanent. Le condensateur est complètement chargé et le courantqui le traverse estnul. On peut
donc le remplacer par un circuit ouvert.
Sur le schéma équivalent à t =0 – ,o nreconnaît un diviseur
de tension, ce qui donne :
u(0 – )=E
.
Schéma équivalent àt=0 –
Sur le schéma valable pour t 0, on reconnaît le régime
libre d’un simple circuit (R, C).
Avec les conventions utilisées :
u(t)=+Ri(t)e ti ( t )=–C
.
L’équation différentielle estdonc :
t
+ u =0 avec t = RC.
On remarque que contrairement àu(t), la fonction i(t) est discontinue en t=0.
La tension u étant une fonction continue du temps :
u(0 + )=u(0 – )=E
.
On en déduit la solution : u(t)=E
exp ,
et donc, par dérivation(ou en remarquant que u(t)=Ri(t)) :
i(t)=
exp .
E
R + r
– t
t
1
R
R + r
– t
t
R
R + r
t
t = RC
Ri(t) et u(t)
u(t)
i (t)
du
dt
du
dt
r
R
u
i=0
E
R
R + r
Étudedecircuits (R, L)(d’après
ENAC)
1 • Sachant que τ est homogène àtemps, les réponses a. et c.
sont impossibles. À t =0ondoit avoir i(t)=0donc la réponse c. est aussi impossible. La réponse est donc d. C’est le cas
du cours ;l’important est de bien écrire la continuité de i dans
la bobine en t =0.
L’équation différentielleest E = Ri + L
et s’intègre en
+; avec i(0 + )=i(0 – )=0,
il vient bien d.
2 • On peut associer L 1 et L 2 en série : L = L 1 + L 2 et R 1 et
R 2 en série : R = R 1 + R 2 et appliquer 1. pour déterminer i AC
D’autre part V AB = R 1 i AC + L 1
d’où V AB indépendantdutemps si
ou encore, réponse c.
3 • Avec la relation du 2.
et P AB (t)=V AB i AC (t)
soit réponse a.
Remarque :Les réponses b. et c. peuvent êtreéliminées d’emblée car inhomogènes.
E
RR
RR
LL
t
−
+
−
+
+
−
exp
12
12
12
1
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i AC =
soit
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AB
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ω
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L
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1 12
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