CORRIGÉS
Réseauxlinéaires en régime variable
2
336
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Cellules(R,C)soumises
àunéchelon de tension
1 • L’équation de maille E = Ri +d onne par dérivation
par rapport au temps :
R
+= 0, car i =.
Cette équation différentielle s’intègre en :
i(t)=Ae
– t
t
en posant t = RC .
La constante d’intégration A se détermine àl ’aide de la
condition initiale i(0) =, d’où :
i(t)=
e
– t
t
.
2•a. Àtout instant i 2 (t)=
,d onc àl’instant
initial :
i 2 (0)=0,c ar u 1 (0) = u 2 (0) = U 0 .
Par ailleurs, la résistance R,p lacée entre A 0 et A 1 est, à
tout instant, parcourue par le courant i 1 (t)+i 2 (t)=
,
ce qui donne, àl’instant initial :
i 1 (0) + i 2 (0) =.
Compte tenu de la valeur i 2 (0), la valeuri nitiale de i 1 (t)
s’établità:
i 1 (0) =.
b. On applique la loi des mailles àl am aille A 1 A 2 B 2 B 1 ,
puis àlamaille A 0 A 2 B 2 B 0 .O nobtient :
u 1 = Ri 2 + u 2 et E = R(i 1 + i 2 )+Ri 2 + u 2 .
En notant que i 1 = C
et que i 2 = C
,o ndérive les
deux relations précédentes,ilvient :
= R
+e t0 = R
+2R
+.
Portant l’expression de i 1 déduite de la première des deux
relations précédentes dans la seconde,o no btient l’équation
différentielle en i 2 (t):
i 1
C
di 2
dt
i 2
C
di 1
dt
di 2
dt
i 2
C
5
E–U 0
R
E–U 0
R
dq
dt
i
C
di
dt
q
C
u 1 (t)–u 2 (t)
R
du 2
dt
du 1
dt
K
C
C
i 2
u 2
u 1
A 1
A 0
B 1
B 2
R
E
A 2
B 0
i 1
(i 1 i 2 )
R
E – U 0
R
E – U 0
R
E – u 1 (t)
R
t 2
+3t
+i 2 =0,
où t = RC.
Cette équation différentielle du second ordre linéaire àc oefficients constants apour équation caractéristique :
t 2 r 2 +3tr+1=0,
dont les racines sont r =.
Il en résulte que la solution est de la forme :
i 2 (t)=e
–
2
3
t
t
Ae
2
1 5
t
t +Be
–
2
1 5
t
t
,
où A et B sont des constantes d’intégration déterminées par
les conditions initiales i 2 (0) et t =0
.
Pour ce faire, on calcule la dérivée de i 2 (t):
=e
–
2
3
t
t
– Ae
2
1 5
t
t +B
–
2
1 5
t
t
+ Ae
2
1 5
t
t –B
–
2
1 5
t
t
et on détermine la valeur initiale de .
De la relation
= R
+, on en déduit :
t =0
=[ i 1 (0) – i 2 (0)] =.
Les constantes d’intégration A et B sont déterminées par le
système des deux équations :
i 2 (0) = A + B =0 et :
t =0
=–
(A+B)+
(A–B)
=( A – B )=
,
ce qui donne A =–B=e t, par suite :
i 2 (t)=
e
–
2
3
t
t
e
2
1 5
t
t –e
–
2
1 5
t
t
=e
–
2
3
t
t
sh t .
Réponse d’un circuit (R, L, C )
On note u C la tension aux bornes du condensateur.
R
C
i
u C
E
L
K
R
A
d 2 i 2
dt 2
di 2
dt
di 2
dt
–3±15
2t
15
2t
3
2t
di 2
dt
6
15
2t
E–U 0
R
2
15
E–U 0
R15
E–U 0
R15
E–U 0
Rt
15
2t
15
2t
3
2t
di 2
dt
E–U 0
Rt
1
RC
di 2
dt
i 2
C
di 2
dt
i 1
C
di 2
dt
Réseauxlinéaires en régime variable
2
336
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Cellules(R,C)soumises
àunéchelon de tension
1 • L’équation de maille E = Ri +d onne par dérivation
par rapport au temps :
R
+= 0, car i =.
Cette équation différentielle s’intègre en :
i(t)=Ae
– t
t
en posant t = RC .
La constante d’intégration A se détermine àl ’aide de la
condition initiale i(0) =, d’où :
i(t)=
e
– t
t
.
2•a. Àtout instant i 2 (t)=
,d onc àl’instant
initial :
i 2 (0)=0,c ar u 1 (0) = u 2 (0) = U 0 .
Par ailleurs, la résistance R,p lacée entre A 0 et A 1 est, à
tout instant, parcourue par le courant i 1 (t)+i 2 (t)=
,
ce qui donne, àl’instant initial :
i 1 (0) + i 2 (0) =.
Compte tenu de la valeur i 2 (0), la valeuri nitiale de i 1 (t)
s’établità:
i 1 (0) =.
b. On applique la loi des mailles àl am aille A 1 A 2 B 2 B 1 ,
puis àlamaille A 0 A 2 B 2 B 0 .O nobtient :
u 1 = Ri 2 + u 2 et E = R(i 1 + i 2 )+Ri 2 + u 2 .
En notant que i 1 = C
et que i 2 = C
,o ndérive les
deux relations précédentes,ilvient :
= R
+e t0 = R
+2R
+.
Portant l’expression de i 1 déduite de la première des deux
relations précédentes dans la seconde,o no btient l’équation
différentielle en i 2 (t):
i 1
C
di 2
dt
i 2
C
di 1
dt
di 2
dt
i 2
C
5
E–U 0
R
E–U 0
R
dq
dt
i
C
di
dt
q
C
u 1 (t)–u 2 (t)
R
du 2
dt
du 1
dt
K
C
C
i 2
u 2
u 1
A 1
A 0
B 1
B 2
R
E
A 2
B 0
i 1
(i 1 i 2 )
R
E – U 0
R
E – U 0
R
E – u 1 (t)
R
t 2
+3t
+i 2 =0,
où t = RC.
Cette équation différentielle du second ordre linéaire àc oefficients constants apour équation caractéristique :
t 2 r 2 +3tr+1=0,
dont les racines sont r =.
Il en résulte que la solution est de la forme :
i 2 (t)=e
–
2
3
t
t
Ae
2
1 5
t
t +Be
–
2
1 5
t
t
,
où A et B sont des constantes d’intégration déterminées par
les conditions initiales i 2 (0) et t =0
.
Pour ce faire, on calcule la dérivée de i 2 (t):
=e
–
2
3
t
t
– Ae
2
1 5
t
t +B
–
2
1 5
t
t
+ Ae
2
1 5
t
t –B
–
2
1 5
t
t
et on détermine la valeur initiale de .
De la relation
= R
+, on en déduit :
t =0
=[ i 1 (0) – i 2 (0)] =.
Les constantes d’intégration A et B sont déterminées par le
système des deux équations :
i 2 (0) = A + B =0 et :
t =0
=–
(A+B)+
(A–B)
=( A – B )=
,
ce qui donne A =–B=e t, par suite :
i 2 (t)=
e
–
2
3
t
t
e
2
1 5
t
t –e
–
2
1 5
t
t
=e
–
2
3
t
t
sh t .
Réponse d’un circuit (R, L, C )
On note u C la tension aux bornes du condensateur.
R
C
i
u C
E
L
K
R
A
d 2 i 2
dt 2
di 2
dt
di 2
dt
–3±15
2t
15
2t
3
2t
di 2
dt
6
15
2t
E–U 0
R
2
15
E–U 0
R15
E–U 0
R15
E–U 0
Rt
15
2t
15
2t
3
2t
di 2
dt
E–U 0
Rt
1
RC
di 2
dt
i 2
C
di 2
dt
i 1
C
di 2
dt