©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Machines thermiques
6
287
Dans tout le problème, on négligera d’éventuelles variations d’énergie cinétique ou potentielle de pesanteur. Le
gaz utilisé sera toujours considéré comme parfait, de chaleur massique à pression constante c P (c P = cte). Les
échanges de travail et chaleur seront enfin toujours considérés du point de vue du gaz.
Partie A
I • Étude d’un réfrigérant
Dans le réfrigérant supposé parfaitement calorifugé, représenté ci-dessous (doc. 1), le gaz est refroidi à pression
constante, de la température T 2 à la température T 3 , au
moyen d’un circuit d’eau (de chaleur massique c constante) qui, elle, est réchauffée de t 0 à t 1 .
1 • Le débit massique d du gaz étant imposé, déterminer
le débit massique D nécessaire du circuit d’eau de refroidissement.
Doc. 1
II • Étude d’un échangeur à contre-courant
L’échangeur de chaleur représenté ci-dessous (doc. 2) est
également parfaitement calorifugé.
Il comporte deux canalisations dans lesquelles le même
gaz circule avec le même débit massique, mais dans des
sens opposés.
Les températures d’entrée, supposées connues, seront
notées T 4 et T 9 et les températures de sorties respectives
T 5 et T 10 . Dans chaque canalisation, la pression est constante.
Doc. 2
2 • On suppose tout d’abord réversibles les transformations subies par le gaz dans chaque canalisation. En utilisant les fonctions enthalpie et entropie, écrire les relations
reliant T 5 et T 10 à T 4 et T 9 .
3 • En déduire les solutions physiquement acceptables
pour T 5 et T 10 .
T 4
T 5
T 10
T 9
T 2
T 3
t 1
t 0
2 • Quel avantage présente ce chauffage par rapport au
chauffage électrique ?
F • Étude du cycle
1 • Vérifier le bilan énergétique sur le cycle.
2 • Représenter son diagramme entropique.
Étude d’un turbocompresseur
à gaz
D’après ENS Cachan.
Ce problème a pour but l’étude thermodynamique d’un
turbocompresseur à gaz destiné à la propulsion d’un cargo.
Les divers éléments du système seront d’abord étudiés un
par un dans la partie A, puis réunis dans la partie B.
8
PROBLÈME
Conseils
A. 1) On s’inspirera du bilan d’énergie effectué lors
de l’étude de la détente de Joule-Thomson.
2) Transformer la relation du texte en une relation en
variables P et T . Que vaut la variation d’enthalpie
d’un gaz parfait ?
3) Comment s’exprime la variation d’entropie d’un
gaz parfait en variables T et P ?Réfléchir au résultat obtenu par rapport à la relation du A. 2).
4) a) Utiliser la relation du A. 3) pour une évolution
quelconque. L’isobare P 2 est-elle en dessous ou audessus de l’isobare P 1 ?
b) Comparer s(T 2 , P 2 ) et s(T 3 , P 1 ) . Puisque
w m = ∆h , utiliser le caractère de fonction d’état de h
B. 1) Les transformations dans le condenseur sont
isobares. Àquelle fonction d’état relier q 1 ?
2) Calculer la variation d’entropie de chaque étape
dans le condenseur.
C. 1) Quelle détente reconnaît-on ?
2) Exprimer l’enthalpie dans l’état initial et dans
l’état final, en fonction des enthalpies massiques du
gaz et du liquide et de x , puis utiliser le caractère de
fonction d’état de h .
3) Séparer en deux étapes la détente isenthalpique du
fréon.
D. Quelle sont les conditions de la transformation des
(1 – x) kg de fréon liquide ? En déduire q 2 et ∆s 3 .
E. Déterminer à quels éléments de la pompe à chaleur
correspondent le gain et la dépense énergétique. En
déduire e . Quelle est l’efficacité d’un chauffage
électrique ?
F. On prendra soin, pour le diagramme entropique, de
représenter la courbe de saturation ainsi que les isobares P 1 et P 2 .
La photocopie non autorisée est un délit.
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Dans tout le problème, on négligera d’éventuelles variations d’énergie cinétique ou potentielle de pesanteur. Le
gaz utilisé sera toujours considéré comme parfait, de chaleur massique à pression constante c P (c P = cte). Les
échanges de travail et chaleur seront enfin toujours considérés du point de vue du gaz.
Partie A
I • Étude d’un réfrigérant
Dans le réfrigérant supposé parfaitement calorifugé, représenté ci-dessous (doc. 1), le gaz est refroidi à pression
constante, de la température T 2 à la température T 3 , au
moyen d’un circuit d’eau (de chaleur massique c constante) qui, elle, est réchauffée de t 0 à t 1 .
1 • Le débit massique d du gaz étant imposé, déterminer
le débit massique D nécessaire du circuit d’eau de refroidissement.
Doc. 1
II • Étude d’un échangeur à contre-courant
L’échangeur de chaleur représenté ci-dessous (doc. 2) est
également parfaitement calorifugé.
Il comporte deux canalisations dans lesquelles le même
gaz circule avec le même débit massique, mais dans des
sens opposés.
Les températures d’entrée, supposées connues, seront
notées T 4 et T 9 et les températures de sorties respectives
T 5 et T 10 . Dans chaque canalisation, la pression est constante.
Doc. 2
2 • On suppose tout d’abord réversibles les transformations subies par le gaz dans chaque canalisation. En utilisant les fonctions enthalpie et entropie, écrire les relations
reliant T 5 et T 10 à T 4 et T 9 .
3 • En déduire les solutions physiquement acceptables
pour T 5 et T 10 .
T 4
T 5
T 10
T 9
T 2
T 3
t 1
t 0
2 • Quel avantage présente ce chauffage par rapport au
chauffage électrique ?
F • Étude du cycle
1 • Vérifier le bilan énergétique sur le cycle.
2 • Représenter son diagramme entropique.
Étude d’un turbocompresseur
à gaz
D’après ENS Cachan.
Ce problème a pour but l’étude thermodynamique d’un
turbocompresseur à gaz destiné à la propulsion d’un cargo.
Les divers éléments du système seront d’abord étudiés un
par un dans la partie A, puis réunis dans la partie B.
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PROBLÈME
Conseils
A. 1) On s’inspirera du bilan d’énergie effectué lors
de l’étude de la détente de Joule-Thomson.
2) Transformer la relation du texte en une relation en
variables P et T . Que vaut la variation d’enthalpie
d’un gaz parfait ?
3) Comment s’exprime la variation d’entropie d’un
gaz parfait en variables T et P ?Réfléchir au résultat obtenu par rapport à la relation du A. 2).
4) a) Utiliser la relation du A. 3) pour une évolution
quelconque. L’isobare P 2 est-elle en dessous ou audessus de l’isobare P 1 ?
b) Comparer s(T 2 , P 2 ) et s(T 3 , P 1 ) . Puisque
w m = ∆h , utiliser le caractère de fonction d’état de h
B. 1) Les transformations dans le condenseur sont
isobares. Àquelle fonction d’état relier q 1 ?
2) Calculer la variation d’entropie de chaque étape
dans le condenseur.
C. 1) Quelle détente reconnaît-on ?
2) Exprimer l’enthalpie dans l’état initial et dans
l’état final, en fonction des enthalpies massiques du
gaz et du liquide et de x , puis utiliser le caractère de
fonction d’état de h .
3) Séparer en deux étapes la détente isenthalpique du
fréon.
D. Quelle sont les conditions de la transformation des
(1 – x) kg de fréon liquide ? En déduire q 2 et ∆s 3 .
E. Déterminer à quels éléments de la pompe à chaleur
correspondent le gain et la dépense énergétique. En
déduire e . Quelle est l’efficacité d’un chauffage
électrique ?
F. On prendra soin, pour le diagramme entropique, de
représenter la courbe de saturation ainsi que les isobares P 1 et P 2 .