©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Machines thermiques
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2 • Évolution des températures lorsque l’eau de la
patinoire se transforme en glace
Exprimer, en fonction de C 1 , T 0 , T 3 , L et m 2 , la température T 4 de l’eau de la piscine lorsque toute l’eau de la
patinoire est sous forme de glace à T 0 = 273,15 K.
Exprimer, en fonction de C 1 , T 4 , T 3 , m 2 et L , le travail, W 2 , échangé par le fluide circulant dans la pompe à
chaleur avec le milieu extérieur. Préciser le sens de
l’échange.
A.N. : Calculer T 4 et W 2 .
3 • Évolution des températures lorsque la glace de la
patinoire se refroidit
a. Exprimer, en fonction de C 1 , C 2 , T 2 , T 0 et T 4 , la température T 5 de l’eau de la piscine lorsque l’eau de la patinoire est sous forme de glace à T 2 = 263,00 K .
Exprimer, en fonction de C 1 , C 2 , T 4 , T 5 , T 0 et T 2 , le
travail W 3 échangé par le fluide circulant dans la pompe
à chaleur avec le milieu extérieur. Préciser le sens de
l’échange.
A.N. : Calculer T 5 et W 3 .
b. Exprimer, en fonction de C 1 , T i et T 5 , l’énergie W 4
qu’il faut fournir à l’eau de la piscine pour élever la température par chauffage direct de T i à T 5 .
A.N. : Calculer W 4 .
c. On dispose d’une puissance , supposée constante. Au
bout de quelle durée t la mise en température de l’ensemble sportif sera-t-elle réalisée ?
A.N. : Calculer t (en jours, heures et minutes) avec :
=200 kW .
Étude thermodynamique
d’un complexe piscine-patinoire
Données : Chaleur massique de l’eau liquide :
c 1 = 4,18 . 10 3 J . kg –1 . K –1 .
Chaleur massique de la glace :
c 2 = 2,09 . 10 3 J . kg –1 . K –1 .
Chaleur latente massique de fusion de la glace sous la
pression atmosphérique : L = 3,34 . 10 5 J . kg –1 .
Lors du fonctionnement, en régime stationnaire, d’une
installation sportive (complexe piscine-patinoire) :
• la masse d’eau m 1 = 2,0 . 10 6 kg de la piscine est à la
température uniforme T 1 = 300,00 K;
• la masse d’eau m 2 = 2,5 . 10 5 kg de la patinoire est à la
température uniforme T 2 = 263,00 K .
On admettra que, sous la pression atmosphérique, le changement d’état eau liquide-glace se fait à une température
T 0 = 273,15 K .
A • Préliminaire
Déterminer les capacités calorifiques C 1 , C 2 et C 2 des
masses d’eau de la piscine (C 1 ) , de l’eau de la patinoire
sous phase liquide (C 2 ) et de l’eau de la patinoire sous
phase solide (C 2 ) .
A.N. : Calculer C 1 , C 2 et C 2 .
B • Mise en température de la glace de la patinoire et
de l’eau de la piscine
On considère une pompe à chaleur fonctionnant de manière réversible avec comme source froide l’eau de la patinoire et comme source chaude l’eau de la piscine.
Àl ’instant initial (qu’on choisira comme origine des
dates) les deux masses d’eau (liquide) sont à la même température T i .
On suppose que les sources n’échangent de la chaleur
qu’avec la machine.
1 • Évolution des températures lorsque les deux masses d’eau restent liquides
À la date t , l’eau de la piscine est à la température T 1 (t)
et celle de la patinoire à T 2 (t) .
a. Établir l’équation différentielle qui lie T 1 (t) et T 2 (t) .
b. Intégrer cette équation entre l’instant initial et l’instant
de date t .
c. Exprimer, en fonction de C 1 , C 2 , T i et T 0 , la température T 3 de l’eau de la piscine lorsque la température de l’eau
liquide de la patinoire est T 0 = 273,15 K . Exprimer en fonction de C 1 , C 2 , T i , T 0 et T 3 ,le travail, W 1 , échangé par
le fluide circulant dans la pompe à chaleur avec le milieu
extérieur. Préciser le sens de l’échange.
A.N. : Calculer T 3 et W 1 . Donnée :T i = 280,00 K .
6
Conseils
A. Quelle est la définition d’une chaleur massique ?
B. 1) a) Comment s’écrit l’inégalité de Clausius pour
un cycle réversible ?
c) Appliquer la relation du B. 1) b).Pour obtenir W 1 ,
appliquer le premier principe. Quel signe doit avoir le
travail échangé au cours d’un cycle pour une pompe
à chaleur ?
2) Reprendre la démarche précédente en changeant
l’origine des temps et en prenant garde au changement d’état.
3) a) Cf. ci-dessus.
b) Appliquer le premier principe à l’eau de la piscine.
c) Quelle énergie a dû fournir la pompe à chaleur au
fluide ? Relier cette énergie à P.
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2 • Évolution des températures lorsque l’eau de la
patinoire se transforme en glace
Exprimer, en fonction de C 1 , T 0 , T 3 , L et m 2 , la température T 4 de l’eau de la piscine lorsque toute l’eau de la
patinoire est sous forme de glace à T 0 = 273,15 K.
Exprimer, en fonction de C 1 , T 4 , T 3 , m 2 et L , le travail, W 2 , échangé par le fluide circulant dans la pompe à
chaleur avec le milieu extérieur. Préciser le sens de
l’échange.
A.N. : Calculer T 4 et W 2 .
3 • Évolution des températures lorsque la glace de la
patinoire se refroidit
a. Exprimer, en fonction de C 1 , C 2 , T 2 , T 0 et T 4 , la température T 5 de l’eau de la piscine lorsque l’eau de la patinoire est sous forme de glace à T 2 = 263,00 K .
Exprimer, en fonction de C 1 , C 2 , T 4 , T 5 , T 0 et T 2 , le
travail W 3 échangé par le fluide circulant dans la pompe
à chaleur avec le milieu extérieur. Préciser le sens de
l’échange.
A.N. : Calculer T 5 et W 3 .
b. Exprimer, en fonction de C 1 , T i et T 5 , l’énergie W 4
qu’il faut fournir à l’eau de la piscine pour élever la température par chauffage direct de T i à T 5 .
A.N. : Calculer W 4 .
c. On dispose d’une puissance , supposée constante. Au
bout de quelle durée t la mise en température de l’ensemble sportif sera-t-elle réalisée ?
A.N. : Calculer t (en jours, heures et minutes) avec :
=200 kW .
Étude thermodynamique
d’un complexe piscine-patinoire
Données : Chaleur massique de l’eau liquide :
c 1 = 4,18 . 10 3 J . kg –1 . K –1 .
Chaleur massique de la glace :
c 2 = 2,09 . 10 3 J . kg –1 . K –1 .
Chaleur latente massique de fusion de la glace sous la
pression atmosphérique : L = 3,34 . 10 5 J . kg –1 .
Lors du fonctionnement, en régime stationnaire, d’une
installation sportive (complexe piscine-patinoire) :
• la masse d’eau m 1 = 2,0 . 10 6 kg de la piscine est à la
température uniforme T 1 = 300,00 K;
• la masse d’eau m 2 = 2,5 . 10 5 kg de la patinoire est à la
température uniforme T 2 = 263,00 K .
On admettra que, sous la pression atmosphérique, le changement d’état eau liquide-glace se fait à une température
T 0 = 273,15 K .
A • Préliminaire
Déterminer les capacités calorifiques C 1 , C 2 et C 2 des
masses d’eau de la piscine (C 1 ) , de l’eau de la patinoire
sous phase liquide (C 2 ) et de l’eau de la patinoire sous
phase solide (C 2 ) .
A.N. : Calculer C 1 , C 2 et C 2 .
B • Mise en température de la glace de la patinoire et
de l’eau de la piscine
On considère une pompe à chaleur fonctionnant de manière réversible avec comme source froide l’eau de la patinoire et comme source chaude l’eau de la piscine.
Àl ’instant initial (qu’on choisira comme origine des
dates) les deux masses d’eau (liquide) sont à la même température T i .
On suppose que les sources n’échangent de la chaleur
qu’avec la machine.
1 • Évolution des températures lorsque les deux masses d’eau restent liquides
À la date t , l’eau de la piscine est à la température T 1 (t)
et celle de la patinoire à T 2 (t) .
a. Établir l’équation différentielle qui lie T 1 (t) et T 2 (t) .
b. Intégrer cette équation entre l’instant initial et l’instant
de date t .
c. Exprimer, en fonction de C 1 , C 2 , T i et T 0 , la température T 3 de l’eau de la piscine lorsque la température de l’eau
liquide de la patinoire est T 0 = 273,15 K . Exprimer en fonction de C 1 , C 2 , T i , T 0 et T 3 ,le travail, W 1 , échangé par
le fluide circulant dans la pompe à chaleur avec le milieu
extérieur. Préciser le sens de l’échange.
A.N. : Calculer T 3 et W 1 . Donnée :T i = 280,00 K .
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Conseils
A. Quelle est la définition d’une chaleur massique ?
B. 1) a) Comment s’écrit l’inégalité de Clausius pour
un cycle réversible ?
c) Appliquer la relation du B. 1) b).Pour obtenir W 1 ,
appliquer le premier principe. Quel signe doit avoir le
travail échangé au cours d’un cycle pour une pompe
à chaleur ?
2) Reprendre la démarche précédente en changeant
l’origine des temps et en prenant garde au changement d’état.
3) a) Cf. ci-dessus.
b) Appliquer le premier principe à l’eau de la piscine.
c) Quelle énergie a dû fournir la pompe à chaleur au
fluide ? Relier cette énergie à P.