©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Second principe. Bilans d’entropie
4
258
Système à deux niveaux
Soit un système de volume constant constitué d’un grand
nombre N de particules en équilibre à la température T
et dont chacune peut avoir deux valeurs d’énergie E 1 ou
E 2 ,a vec E 2 E 1 (système «à deux niveaux »).
Soit n 1 le nombre de particules d’énergie E 1 et n 2 le
nombre de particules d’énergie E 2 .
On suppose que la répartition sur les niveaux d’énergie suit
la loi statistique de Boltzmann :
.
1 • Exprimer la différentielle de l’énergie interne du système en fonction de dn 1 et ∆ E = E 2 − E 1 .
2 • Exprimer la différentielle de l’entropie du système en
fonction de T, ∆ E et dn 1 . On utilisera la formule de
Stirling ln (N !) = N ln (N)v alable pour N grand.
3 • Montrer alors que l’on retrouve l’identité thermodynamique.
11
ratures très élevées, les molécules de H 2 sont décomposées en protons et en électrons qui se comportent
comme des gaz parfaits monoatomiques).
3 • Déterminer la capacité thermique à volume constant associée au rayonnement.
Transfert de matière,
irréversibilité
Un récipient, dont les parois sont athermanes, est séparé en
deux compartiments par une paroi amovible ;d ans l’un se
trouvent n 1 moles de gaz parfait occupant un volume V 1
et, dans l’autre, n 2 moles de gaz parfait occupant un volume V 2 . Àl’instant initial, les deux gaz sont à l’équilibre
sous la même pression P et à la même température T .
On ôte la paroi mobile et on attend l’établissement d’un
nouvel équilibre thermodynamique.
1 • Déterminer l’état final de chacun des deux gaz.
2 • Déterminer l’entropie créée au cours de l’évolution
par le système constitué des deux gaz.
3 • On pose n 2 = xn 1 ; étudier et tracer la fonction
créée (x) pour x tendant vers zéro.
Conclure quant à la réversibilité éventuelle de l’évolution.
parois
athermanes
gaz 1g az 2
T, P, n 1
T, P, n 2
10
Conseils
1) L’énergie interne est une grandeur extensive.
2) Comment s’exprime l’entropie statistique ?
Combien y a-t-il de manières de réaliser l’état :
{n 1 particules d’énergie E 1 , n 2 particules d’énergie E 2 }?
Conseils
1) Réaliser un bilan énergétique pour l’ensemble des
deux gaz et utiliser l’extensivité de l’énergie interne.
2) Réaliser un bilan entropique et utiliser l’extensivité de l’entropie.
3) Discuter de la pente à l’origine de la fonction
créée (x) .
Conseils
•En écrivant l’identité thermodynamique, on constate que P et T peuvent être déduites des dérivées
partielles de la fonction S de U et V .
•Quelle est la définition de C V pour un fluide quelconque ?
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EXERCICES
Second principe. Bilans d’entropie
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Système à deux niveaux
Soit un système de volume constant constitué d’un grand
nombre N de particules en équilibre à la température T
et dont chacune peut avoir deux valeurs d’énergie E 1 ou
E 2 ,a vec E 2 E 1 (système «à deux niveaux »).
Soit n 1 le nombre de particules d’énergie E 1 et n 2 le
nombre de particules d’énergie E 2 .
On suppose que la répartition sur les niveaux d’énergie suit
la loi statistique de Boltzmann :
.
1 • Exprimer la différentielle de l’énergie interne du système en fonction de dn 1 et ∆ E = E 2 − E 1 .
2 • Exprimer la différentielle de l’entropie du système en
fonction de T, ∆ E et dn 1 . On utilisera la formule de
Stirling ln (N !) = N ln (N)v alable pour N grand.
3 • Montrer alors que l’on retrouve l’identité thermodynamique.
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ratures très élevées, les molécules de H 2 sont décomposées en protons et en électrons qui se comportent
comme des gaz parfaits monoatomiques).
3 • Déterminer la capacité thermique à volume constant associée au rayonnement.
Transfert de matière,
irréversibilité
Un récipient, dont les parois sont athermanes, est séparé en
deux compartiments par une paroi amovible ;d ans l’un se
trouvent n 1 moles de gaz parfait occupant un volume V 1
et, dans l’autre, n 2 moles de gaz parfait occupant un volume V 2 . Àl’instant initial, les deux gaz sont à l’équilibre
sous la même pression P et à la même température T .
On ôte la paroi mobile et on attend l’établissement d’un
nouvel équilibre thermodynamique.
1 • Déterminer l’état final de chacun des deux gaz.
2 • Déterminer l’entropie créée au cours de l’évolution
par le système constitué des deux gaz.
3 • On pose n 2 = xn 1 ; étudier et tracer la fonction
créée (x) pour x tendant vers zéro.
Conclure quant à la réversibilité éventuelle de l’évolution.
parois
athermanes
gaz 1g az 2
T, P, n 1
T, P, n 2
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Conseils
1) L’énergie interne est une grandeur extensive.
2) Comment s’exprime l’entropie statistique ?
Combien y a-t-il de manières de réaliser l’état :
{n 1 particules d’énergie E 1 , n 2 particules d’énergie E 2 }?
Conseils
1) Réaliser un bilan énergétique pour l’ensemble des
deux gaz et utiliser l’extensivité de l’énergie interne.
2) Réaliser un bilan entropique et utiliser l’extensivité de l’entropie.
3) Discuter de la pente à l’origine de la fonction
créée (x) .
Conseils
•En écrivant l’identité thermodynamique, on constate que P et T peuvent être déduites des dérivées
partielles de la fonction S de U et V .
•Quelle est la définition de C V pour un fluide quelconque ?