©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Second principe. Bilans d’entropie
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4 • On enlève l’objet de masse M du piston et lorsque
le nouvel équilibre thermodynamique est atteint, le
volume et la température sont égaux à V 3 et T 3 .
a. Sans les calculer, comparer V 3 à V 1 et T 3 à T 1 .
b. Exprimer T 3 en fonction de T 1 , p, P 1 et P 2 et calculer sa valeur. Vérifier le résultat de la question précédente.
c. Calculer l’entropie créée au cours des deux opérations.
Conclure.
S(U, V), fonction caractéristique
Soit un système constitué de dioxyde de carbone.
Ce gaz est caractérisé par la fonction S (U, V )d onnée
pour une quantité de matière n = 1 mole de gaz :
S (U, V ) = S 0 + C V, m ln
.
S 0 , U 0 et V 0 sont respectivement les valeurs de l’entropie, de l’énergie interne et du volume de cette mole de
gaz dans un état de référence arbitraire donné.
Données : C V, m est la capacité calorifique molaire à volume
constant du dioxyde de carbone :
C V, m = 28,50 J . mol –1 . K –1 ;
8
P 1 , T 1 , V 1
P 2 , T 2 , V 2
P 1 , T 3 , V 3
État initial
État final de
la question 3
État final de
la question 4
M
y g
laine
d’acier
a et b sont des constantes propres au dioxyde de carbone :
a = 0,37 J . m 3 . mol –2 et b = 4,30 . 10 –5 m 3 . mol –1 ;
R est la constante universelle : R = 8,314 J . mol –1 . K –1 .
1 • Donner deux expressions différentes de la différentielle, dS(U, V ) , de l’entropie d’une mole de gaz.
En déduire, d’une part, l’expression de l’énergie interne,
U(T, V),d’une mole de gaz et, d’autre part, son équation d’état:
f (P, V, T ) = 0.
2•Deux moles de ce gaz subissent une détente de Joule –
Gay-Lussac d’un volume initial V = 5,00 dm 3 et d’une
température initiale T = 293,0 Kà un volume final 2 V .
a. Calculer les variations de température et d’entropie correspondantes.
b. Comparer les résultats obtenus à ceux de la détente de
deux moles de gaz parfait de même capacité calorifique
molaire à volume constant dans les mêmes conditions
initiales.
Le gaz de photons
À l’intérieur d’une cavité vide dont les parois sont à
l’équilibre thermique, il existe des ondes électromagnétiques dont l’intensité et la répartition des fréquences
dépend de la température. À une onde électromagnétique on associe des particules (« grains d’énergie »)
appelées photons et on considère que ceux-ci se comportent comme un gaz.
Des considérations théoriques amènent à poser l’expression de l’entropie, fonction du volume et de l’énergie :
S(V, U) =
(σ 0 VU 3 )o ù σ 0 est une constante
universelle; σ 0 = 7,56.10 –16 J. m 3 . K –4 .
1 • En déduire la relation entre l’énergie, le volume et
la température, puis la relation entre pression et température.
2 • La cavité, de volume V = 1 Lc ontient 1 mole de
dihydrogène. Pour quelle température la pression de
radiation est-elle égale à la pression exercée par les particules matérielles (on supposera que, pour les tempé1
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4
3
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Conseils
•Rappelons qu’une paroi n’est jamais intrinsèquement adiabatique ou diathermane. Il faut se poser la
question de la rapidité des échanges thermiques
entre le gaz et les solides. Ces échanges sont d’autant plus rapides que la surface de contact est
grande.
•Pour quel système faut-il faire un bilan d’énergie ?
le gaz seul ou le système {gaz + laine d’acier + piston + surcharge} ? Doit-on faire un bilan sous forme
infinitésimale « dU = δQ + δW » ou sous la forme
« ∆U = Q + W » ?
• Quelle est la dimension de p ?
• L’évolution est-elle réversible ? Peut-on utiliser la
loi de LAPLACE ?
• Rappelons que l’entropie est une fonction extensive. Il suffit donc d’additionner les variations d’entropie des différentes composantes du système.
Conseils
1) La fonction entropie associée à un système thermodynamique donné est-elle unique ? Peut-on alors identifier deux expressions différentes de dS(U, V) ,
membre à membre ? Comment obtenir ces deux
expressions ?
2) Le système est constitué de deux moles de gaz :
comment sont modifiées les expressions de U(T, V )
et S(T, V ) ?
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Second principe. Bilans d’entropie
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4 • On enlève l’objet de masse M du piston et lorsque
le nouvel équilibre thermodynamique est atteint, le
volume et la température sont égaux à V 3 et T 3 .
a. Sans les calculer, comparer V 3 à V 1 et T 3 à T 1 .
b. Exprimer T 3 en fonction de T 1 , p, P 1 et P 2 et calculer sa valeur. Vérifier le résultat de la question précédente.
c. Calculer l’entropie créée au cours des deux opérations.
Conclure.
S(U, V), fonction caractéristique
Soit un système constitué de dioxyde de carbone.
Ce gaz est caractérisé par la fonction S (U, V )d onnée
pour une quantité de matière n = 1 mole de gaz :
S (U, V ) = S 0 + C V, m ln
.
S 0 , U 0 et V 0 sont respectivement les valeurs de l’entropie, de l’énergie interne et du volume de cette mole de
gaz dans un état de référence arbitraire donné.
Données : C V, m est la capacité calorifique molaire à volume
constant du dioxyde de carbone :
C V, m = 28,50 J . mol –1 . K –1 ;
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P 1 , T 1 , V 1
P 2 , T 2 , V 2
P 1 , T 3 , V 3
État initial
État final de
la question 3
État final de
la question 4
M
y g
laine
d’acier
a et b sont des constantes propres au dioxyde de carbone :
a = 0,37 J . m 3 . mol –2 et b = 4,30 . 10 –5 m 3 . mol –1 ;
R est la constante universelle : R = 8,314 J . mol –1 . K –1 .
1 • Donner deux expressions différentes de la différentielle, dS(U, V ) , de l’entropie d’une mole de gaz.
En déduire, d’une part, l’expression de l’énergie interne,
U(T, V),d’une mole de gaz et, d’autre part, son équation d’état:
f (P, V, T ) = 0.
2•Deux moles de ce gaz subissent une détente de Joule –
Gay-Lussac d’un volume initial V = 5,00 dm 3 et d’une
température initiale T = 293,0 Kà un volume final 2 V .
a. Calculer les variations de température et d’entropie correspondantes.
b. Comparer les résultats obtenus à ceux de la détente de
deux moles de gaz parfait de même capacité calorifique
molaire à volume constant dans les mêmes conditions
initiales.
Le gaz de photons
À l’intérieur d’une cavité vide dont les parois sont à
l’équilibre thermique, il existe des ondes électromagnétiques dont l’intensité et la répartition des fréquences
dépend de la température. À une onde électromagnétique on associe des particules (« grains d’énergie »)
appelées photons et on considère que ceux-ci se comportent comme un gaz.
Des considérations théoriques amènent à poser l’expression de l’entropie, fonction du volume et de l’énergie :
S(V, U) =
(σ 0 VU 3 )o ù σ 0 est une constante
universelle; σ 0 = 7,56.10 –16 J. m 3 . K –4 .
1 • En déduire la relation entre l’énergie, le volume et
la température, puis la relation entre pression et température.
2 • La cavité, de volume V = 1 Lc ontient 1 mole de
dihydrogène. Pour quelle température la pression de
radiation est-elle égale à la pression exercée par les particules matérielles (on supposera que, pour les tempé1
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•Rappelons qu’une paroi n’est jamais intrinsèquement adiabatique ou diathermane. Il faut se poser la
question de la rapidité des échanges thermiques
entre le gaz et les solides. Ces échanges sont d’autant plus rapides que la surface de contact est
grande.
•Pour quel système faut-il faire un bilan d’énergie ?
le gaz seul ou le système {gaz + laine d’acier + piston + surcharge} ? Doit-on faire un bilan sous forme
infinitésimale « dU = δQ + δW » ou sous la forme
« ∆U = Q + W » ?
• Quelle est la dimension de p ?
• L’évolution est-elle réversible ? Peut-on utiliser la
loi de LAPLACE ?
• Rappelons que l’entropie est une fonction extensive. Il suffit donc d’additionner les variations d’entropie des différentes composantes du système.
Conseils
1) La fonction entropie associée à un système thermodynamique donné est-elle unique ? Peut-on alors identifier deux expressions différentes de dS(U, V) ,
membre à membre ? Comment obtenir ces deux
expressions ?
2) Le système est constitué de deux moles de gaz :
comment sont modifiées les expressions de U(T, V )
et S(T, V ) ?