ainsi :
T =
= S P 0 + x
,
et donc :
= k
+
(P 0 + x) = k
+
+ 2
x ,
ou encore :d x =
.
3 • L’énergie interne du système {gaz + ressort} s’écrit :
U = U gaz + p int , avec U gaz = C V (T – T 0 ) + U 0 ,
et p int = kx 2 .
Cela donne : U = C V (T – T 0 ) + U 0 + kx 2 .
On en déduit donc : dU = C V dT+kx dx , et donc l’expression de dU en fonction de dT:
dU = C V dT+
= ( C V + nR
) dT.
4• On commence par calculer le travail élémentaire des forces extérieures : δW = – P 0 S dx . La variation d’énergie
interne est : dU = C V dT+kx dx , ce qui donne :
δQ = dU – δW = C V dT+(kx + P 0 S)dx .
La capacité calorifique de ce système est définie par
δQ=C K dT, ce qui donne :
C K = C V + nR
,
ou :
C K = C V + nR
.
On examine les cas limites :
• si k = 0; la transformation est isobare :
C K = C V + nR = C P ;
• si k = ; la transformation est isochore : C K = C V .
Transformations d’un gaz réel
1 • La détente de Joule-Gay-Lussac est isoénergétique :
les parois immobiles ne fournissent aucun travail et on les
considère adiabatiques. Il suffit donc d’écrire : U = n U m
constante, soit U m constante. Le volume molaire passe de
10 Là20 L.
C V, m (T 1 – T 0 ) = a – =
d’où : T 1 = T 0 –
.
A.N. :T 1 – T 0 = – 4,0 K .
Il faut faire la mesure de température dès que le gaz s’est
mis à l’équilibre. Si on attend trop (de l’ordre de la minute), les échanges thermiques avec la couche interne de
la paroi ne sont plus négligeables (voir la discussion de
na
2 C V, m V 0
– a
2 V 0
n
V 0
n
V 1
12
1
1 +
P
k(
0
L
S
0
+
+
k
x
x
)
kx + P 0 S
kL 0 + P 0 S+2k x
kx
kL 0 + P 0 S+2k x
kx nR dT
kL 0 + P 0 S+2k x
1
2
1
2
nR dT
kL 0 + P 0 S + 2k x
k
nR
SP 0
nR
L 0
nR
k
S
S
nR
L 0 + x
nR
dT
dx
L 0 + x
nR
k
S
PV
nR
l’exercice 8).
Si a = 0 , on retrouve bien le résultat connu pour le gaz
parfait : T 1 = T 0 , car l’énergie interne n’est fonction que
de T .
2 • L’échange thermique ne se calcule pas directement.
En revanche, nous avons les moyens de calculer ∆U
et W .
∆U = n C v, m (T 0 – T 0 ) – a – = –
La transformation étant une succession d’états d’équilibre
interne, on peut écrire :
W =
V 2
V 0
– P dV avec P =
–
On obtient : W = n R T 0 ln
– n 2 a –
= n R T 0 ln
–
.
Par différence:
Q = ∆U – W = – n R T 0 ln
.
A.N. :W= 15,4 kJ et Q = – 17,1 kJ .
3 • Pour une évolution adiabatique infinitésimale :
δW = – P dV = dU .
Pour le gaz étudié : –
dV +
dV
= n C V, m dT +
dV.
Il reste : R
+ C V, m
= 0 .
Qui s’intègre en : (V – nb)T C V, m = C ste
La température atteinte est donc :
T 3 = T 0 .
A.N. :T= 386 K .
Notons que, comme nb << V 0 , le résultat est très peu différent de celui obtenu avec le modèle du gaz parfait.
On obtient le travail par :
W = ∆U = n C V, m (T 3 – T 0 ) –
.
A.N. :W= 19,0 kJ .
n 2 a
V 0
R
C V, m
2V 0 – 2nb
V 0 – 2nb
dT
T
dV
V – nb
n 2 a
V 2
n 2 a
V 2
n RT
V – nb
2V 0 – 2nb
V 0 – 2nb
n 2 a
V 0
2V 0 – 2nb
V 0 – 2nb
1
V 0
1
V 2
V 0 – nb
V 2 – nb
n 2 a
V 2
n RT 0
V – nb
n 2 a
V 0
n
V 0
n
V 2
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
249
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
T =
= S P 0 + x
,
et donc :
= k
+
(P 0 + x) = k
+
+ 2
x ,
ou encore :d x =
.
3 • L’énergie interne du système {gaz + ressort} s’écrit :
U = U gaz + p int , avec U gaz = C V (T – T 0 ) + U 0 ,
et p int = kx 2 .
Cela donne : U = C V (T – T 0 ) + U 0 + kx 2 .
On en déduit donc : dU = C V dT+kx dx , et donc l’expression de dU en fonction de dT:
dU = C V dT+
= ( C V + nR
) dT.
4• On commence par calculer le travail élémentaire des forces extérieures : δW = – P 0 S dx . La variation d’énergie
interne est : dU = C V dT+kx dx , ce qui donne :
δQ = dU – δW = C V dT+(kx + P 0 S)dx .
La capacité calorifique de ce système est définie par
δQ=C K dT, ce qui donne :
C K = C V + nR
,
ou :
C K = C V + nR
.
On examine les cas limites :
• si k = 0; la transformation est isobare :
C K = C V + nR = C P ;
• si k = ; la transformation est isochore : C K = C V .
Transformations d’un gaz réel
1 • La détente de Joule-Gay-Lussac est isoénergétique :
les parois immobiles ne fournissent aucun travail et on les
considère adiabatiques. Il suffit donc d’écrire : U = n U m
constante, soit U m constante. Le volume molaire passe de
10 Là20 L.
C V, m (T 1 – T 0 ) = a – =
d’où : T 1 = T 0 –
.
A.N. :T 1 – T 0 = – 4,0 K .
Il faut faire la mesure de température dès que le gaz s’est
mis à l’équilibre. Si on attend trop (de l’ordre de la minute), les échanges thermiques avec la couche interne de
la paroi ne sont plus négligeables (voir la discussion de
na
2 C V, m V 0
– a
2 V 0
n
V 0
n
V 1
12
1
1 +
P
k(
0
L
S
0
+
+
k
x
x
)
kx + P 0 S
kL 0 + P 0 S+2k x
kx
kL 0 + P 0 S+2k x
kx nR dT
kL 0 + P 0 S+2k x
1
2
1
2
nR dT
kL 0 + P 0 S + 2k x
k
nR
SP 0
nR
L 0
nR
k
S
S
nR
L 0 + x
nR
dT
dx
L 0 + x
nR
k
S
PV
nR
l’exercice 8).
Si a = 0 , on retrouve bien le résultat connu pour le gaz
parfait : T 1 = T 0 , car l’énergie interne n’est fonction que
de T .
2 • L’échange thermique ne se calcule pas directement.
En revanche, nous avons les moyens de calculer ∆U
et W .
∆U = n C v, m (T 0 – T 0 ) – a – = –
La transformation étant une succession d’états d’équilibre
interne, on peut écrire :
W =
V 2
V 0
– P dV avec P =
–
On obtient : W = n R T 0 ln
– n 2 a –
= n R T 0 ln
–
.
Par différence:
Q = ∆U – W = – n R T 0 ln
.
A.N. :W= 15,4 kJ et Q = – 17,1 kJ .
3 • Pour une évolution adiabatique infinitésimale :
δW = – P dV = dU .
Pour le gaz étudié : –
dV +
dV
= n C V, m dT +
dV.
Il reste : R
+ C V, m
= 0 .
Qui s’intègre en : (V – nb)T C V, m = C ste
La température atteinte est donc :
T 3 = T 0 .
A.N. :T= 386 K .
Notons que, comme nb << V 0 , le résultat est très peu différent de celui obtenu avec le modèle du gaz parfait.
On obtient le travail par :
W = ∆U = n C V, m (T 3 – T 0 ) –
.
A.N. :W= 19,0 kJ .
n 2 a
V 0
R
C V, m
2V 0 – 2nb
V 0 – 2nb
dT
T
dV
V – nb
n 2 a
V 2
n 2 a
V 2
n RT
V – nb
2V 0 – 2nb
V 0 – 2nb
n 2 a
V 0
2V 0 – 2nb
V 0 – 2nb
1
V 0
1
V 2
V 0 – nb
V 2 – nb
n 2 a
V 2
n RT 0
V – nb
n 2 a
V 0
n
V 0
n
V 2
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
249
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.