et dU = CdT :
= – α Cδt , soit en intégrant entre T i et T f :
α =
ln
.
2 • L’application numérique donne :
α = 8,85 . 10 –5 s –1 ou α = 0,32 h –1 .
3 • En travaillant toujours sur la fonction U , mais en tenant
compte désormais de la puissance de chauffe :
dU = – α C(T – T e ) dt + P c dt = CdT .
Si T est maintenue à T i , dT = 0 et P c = α C(T c – T e ) .
A.N. : P c = 11,5 kW .
4 • T RM = T e +
, soit P c = αC(T RM – T e ) .
Ainsi, T RM serait la température maximale obtenue en
maintenant la puissance P c continûment.
A.N. : T RM = 297,95 K pour P c = 15 kW .
• On trace la puissance de chauffe en fonction de T :
Le graphe ci-dessus correspond à un cycle d’hystérésis :
lorsque T décroît de T R + θ à T R – θ , le chauffage est coupé
et il ne se met en marche qu’à partir de T R – θ et ce jusqu’à
T R + θ . Le dispositif peut être comparé à un système comportant un A.O. monté en comparateur à hystérésis.
La puissance de chauffe étant identique à chaque cycle, T R
et θ étant constants, on a bien affaire à un dispositif fonctionnant périodiquement.
• Lorsque T croît de T R – θ à T R + θ, P c = 15 kW :
CdT = [P c – αC(T – T e )]dt ,
soit :
= dt .
En intégrant entre T R – θ et T R + θ et en notant ∆t 1 l’intervalle de chauffe :
α∆t 1 = ln
;
soit en divisant par αC numérateur et dénominateur du logarithme :
α∆t 1 = ln
.
(1)
puissance de chauffe
P C
T
T R
T R
• Lorsque T décroît de T R + θ à T R – θ, P c = 0:
CdT = – αC(T – T e )dt ,
et en intégrant comme ci-dessus et en notant ∆t 2 le temps
mis pour passer de T R + θ à T A – θ :
α∆t 2 = ln
.
(2)
• De (1), on constate que T R doit être inférieur à
T RM + θ et T RM – θ , soit :
T R T RM – θ = 297,9 K .
• De (2), on constate que T R doit être supérieur à
T e + θ et T e – θ, soit :
T R T e + θ = 281,1 K .
5 • La période temporelle d’évolution Θ est donnée par :
Θ = ∆t 1 + ∆t 2 , soit :
Θ =
,
A.N. : Θ = 746 s , soit 12 min 26 s.
6 • ∆t 1 =
ln
= 572 s, soit :
η = 0,767 et <> = ηP c = 11,5 kW .
On retrouve la valeur de la puissance de chauffe obtenue à la
question 3).
Capacité calorifique
d’un système complexe
1 • Étudions la résultante des forces s’exerçant sur le piston :
+ PS – kx – P 0 S = 0 , ce qui donne: P = P 0 + x .
Doc. 2
Doc. 3
• Si k = 0: P = P 0 en permanence. La pression étant constante, la transformation est isobare.
• Si k = : x = 0 en permanence. Le volume étant constant,
la transformation est isochore.
2 • Lorsque T varie de dT , x varie de dx : on cherche la
relation liant dT et dx . On sait que :
PV = nRT , avec V = V 0 + Sx = S(L 0 + x) ,
P
k =
k = 0
P 0
x
PS
k
kx
P 0 S
k
S
11
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
248
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
= – α Cδt , soit en intégrant entre T i et T f :
α =
ln
.
2 • L’application numérique donne :
α = 8,85 . 10 –5 s –1 ou α = 0,32 h –1 .
3 • En travaillant toujours sur la fonction U , mais en tenant
compte désormais de la puissance de chauffe :
dU = – α C(T – T e ) dt + P c dt = CdT .
Si T est maintenue à T i , dT = 0 et P c = α C(T c – T e ) .
A.N. : P c = 11,5 kW .
4 • T RM = T e +
, soit P c = αC(T RM – T e ) .
Ainsi, T RM serait la température maximale obtenue en
maintenant la puissance P c continûment.
A.N. : T RM = 297,95 K pour P c = 15 kW .
• On trace la puissance de chauffe en fonction de T :
Le graphe ci-dessus correspond à un cycle d’hystérésis :
lorsque T décroît de T R + θ à T R – θ , le chauffage est coupé
et il ne se met en marche qu’à partir de T R – θ et ce jusqu’à
T R + θ . Le dispositif peut être comparé à un système comportant un A.O. monté en comparateur à hystérésis.
La puissance de chauffe étant identique à chaque cycle, T R
et θ étant constants, on a bien affaire à un dispositif fonctionnant périodiquement.
• Lorsque T croît de T R – θ à T R + θ, P c = 15 kW :
CdT = [P c – αC(T – T e )]dt ,
soit :
= dt .
En intégrant entre T R – θ et T R + θ et en notant ∆t 1 l’intervalle de chauffe :
α∆t 1 = ln
;
soit en divisant par αC numérateur et dénominateur du logarithme :
α∆t 1 = ln
.
(1)
puissance de chauffe
P C
T
T R
T R
• Lorsque T décroît de T R + θ à T R – θ, P c = 0:
CdT = – αC(T – T e )dt ,
et en intégrant comme ci-dessus et en notant ∆t 2 le temps
mis pour passer de T R + θ à T A – θ :
α∆t 2 = ln
.
(2)
• De (1), on constate que T R doit être inférieur à
T RM + θ et T RM – θ , soit :
T R T RM – θ = 297,9 K .
• De (2), on constate que T R doit être supérieur à
T e + θ et T e – θ, soit :
T R T e + θ = 281,1 K .
5 • La période temporelle d’évolution Θ est donnée par :
Θ = ∆t 1 + ∆t 2 , soit :
Θ =
,
A.N. : Θ = 746 s , soit 12 min 26 s.
6 • ∆t 1 =
ln
= 572 s, soit :
η = 0,767 et <> = ηP c = 11,5 kW .
On retrouve la valeur de la puissance de chauffe obtenue à la
question 3).
Capacité calorifique
d’un système complexe
1 • Étudions la résultante des forces s’exerçant sur le piston :
+ PS – kx – P 0 S = 0 , ce qui donne: P = P 0 + x .
Doc. 2
Doc. 3
• Si k = 0: P = P 0 en permanence. La pression étant constante, la transformation est isobare.
• Si k = : x = 0 en permanence. Le volume étant constant,
la transformation est isochore.
2 • Lorsque T varie de dT , x varie de dx : on cherche la
relation liant dT et dx . On sait que :
PV = nRT , avec V = V 0 + Sx = S(L 0 + x) ,
P
k =
k = 0
P 0
x
PS
k
kx
P 0 S
k
S
11
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
3
248
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.