• Étape 1: détente isotherme du gaz initialement contenu
dans le volume v à la pression P k –1 . S 1 s’ouvre pour
le volume V 1 où la pression atteint la valeur P 0 .
• Étape 2:Aspiration d’air atmosphérique.
• Étape 3: compression du gaz initialement contenu dans
le volume V à la pression P 0 . S 2 s’ouvre pour le volume V 2 où la pression atteint la valeur P k –1 . La compression étant isotherme :
P 0 V = P k –1 V 2
• Étape 4: Compression du gaz contenu dans le cylindre et
dans le réservoir, le volume de ce système passant de V 2
+ V 0 à V 0 + v . La compression étant isotherme :
P k –1 (V 2 + V 0 ) = P k (V 0 + v)
En éliminant V 2 entre ces deux équations, on obtient la relation de récurrence :
P k = P 0
+ P k – 1
.
On obtient successivement les pressions :
P 0
P 1 = P 0
+ P 0
.
P 2 = P 0
+ P 1
.
…
P k = P 0
+ P k – 1
.
En éliminant successivement P k − 1 ,P k − 2 ,…,P 1 ,o n obtient:
P k = P 0
1 +
+
2 + …+
k – 1
+ P 0
k
.
que l’on peut écrire sous la forme :
P k = P 0
+ P 0
k ,
soit,
P k = P 0 1 –
k
+ P 0
k .
V 0
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V
v
V 0
V 0 + v
1 –
V 0
V
+
0
v
k
1 –
V 0
V
+
0
v
V
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V
V 0 + v
V
V 0 + v
V
V 0 + v
V
V 0 + v
V
V 0 + v
V
V 0 + v
V 0
V 0 + v
V
V 0 + v
1
2
3
4
P cylindre
p k
p k – 1
P 0
V 2
V 2
vV V cylindre
b. Quand k devient très grand, P k tend vers la limite :
P = P 0
Cette pression est atteinte lorsque la soupape S 2 ne s’ouvre
plus, même lorsque le piston est en fin de course à droite ;p our
retrouver la relation ci-dessus, il suffit donc de réécrire la relation (1) (qui donne la condition d’ouverture de S 2 )a vec :
V 2 = v et P k − 1 = P ,s oit Pv = P 0 V.
2• On suppose v = 0 .
a. Reprenons le résultat de la question 1) a) :
Sachant que
k ≈ 1 – k lorsque v est très petit, on obtient:
P k = P 0 1 + k .
(Relation que l’on peut aussi retrouver par un calcul direct.)
b. Calculons le travail des forces de pression au cours du
m ième cycle du piston. Le travail de la force de pression
atmosphérique P 0 est nul puisque, au cours d’un aller et
retour, le volume balayé par le piston est nul :
− P 0 ∆ V − P 0 (− ∆ V) = 0 .
Dans le cylindre, l’air subit une transformation isotherme :
•l orsque le piston se déplace vers la gauche, la soupape S 1
est constamment ouverte (puisque v = 0 ) ;l ’air s’engouffre
dans le cylindre à pression constante P 0 , son volume augmente de V, d’où :
W m 1 =−P 0 V=−nRT;
•l orsque le piston se déplace vers la droite, l’air est comprimé
dans le cylindre du volume V au volume V 2 (S 2 fermée),
d’où :
W m 2 = – nRT ln
= – P 0 V ln
.
Ensuite ( S 2 ouverte), l’air du cylindre et du réservoir est
comprimé du volume (V 0 + V 2 )a u volume V 0 :
W m 3 = – (n + n m – 1 ) RT ln
= – P m V 0 ln
.
Au total, le travail des forces de pression pour le m ième cycle
de piston vaut donc :
W m = W m 1 + W m 2 = W m 3 = – P 0 V 1 + ln
– P m V 0 ln
,
que l’on peut écrire sous la forme :
W m = V 0 P m ln P m − P m − 1 ln P m − 1 − (P m − P m − 1 ) (1 + ln P 0 )
puisque l’on a (n + n m − 1 ) RT = P 0 V + P m−1 V 0 = P m V 0
On peut ainsi en déduire le travail W k des forces de pression
pour k allers et retours du piston :
W k =
k
m = 1
W m = P k V 0 ln
– (P k – P 0 ) V 0 .
Ce travail W k correspond au travail fourni par le moteur de
la pompe.
P k
P 0
P m – 1
P m
P 0
P m – 1
P m – 1
P m
V 0
V 0 + V 2
P 0
P m – 1
V 2
V
V
V 0
v
V 0
V 0
V 0 + v
V
v
CORRIGÉS
Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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